一、凸包定义
通俗的说就是：一组平面上的点，求一个包含所有点的最小凸多边形，这个最小凸多边形就是凸包。
二、Graham算法思想
概要：Graham算法的主要思想就是，最终形成的凸包，即包围所有点的凸多边形，假定多边形是按逆时针方向生成的，那么多边形内部包围的所有点与多边形每个有向边的关系都是：点在有向边的左边。依照此思想，只要找到一个出发点，然后依此出发点按逆时针方向构建多边形，并保证每加入一条有向边时，都要满足其余点都在该边的左边。
***点与线的关系
定义：平面上的三点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)的面积量：
|x1 x2 x3|
S(P1,P2,P3) = |y1 y2 y3| = (x1-x3)*(y2-y3) - (y1-y3)*(x2-x3)
|1 1 1 |
当P1P2P3逆时针时S为正的，当P1P2P3顺时针时S为负的。
令矢量的起点为A，终点为B，判断的点为C，
如果S（A，B，C）为正数，则C在矢量AB的左侧；
如果S（A，B，C）为负数，则C在矢量AB的右侧；
如果S（A，B，C）为0，则C在直线AB上。
具体算法过程：
（1）输入：点集S={P}
（2）寻找基点P0：在所有点中找到y坐标最小的点，若找到多个，则选取其中X坐标最大的点作为基点，若只找到一个，则直接以这个点作为基点。
（3）排序：以基点为起点，以其余点为终点构成一个向量<P0,PK>，逐个计算每个向量与x轴正方向的夹角，并按夹角有小到大进行排序，得到一个排序的点S1={p0,p1,p2,p3…p(N-1)}；对于夹角相同的点，剔除掉离基点近的点，只保留离基点最远的那个点。
注意：由于计算角度复杂且耗时，在这里采用另外一种方式处理，根据上面的点线关系，从基点p0出发，依次遍历其它点，设为pk，p0和pk就构成一条有向向量，依次判断其它点（如pm）在向量的哪个方向，若在线段右边，则用其它点代替pk，构成一个新向量p0pm,继续判断剩余的点，这样一趟下来，就能找到最右边的点；依此道理判断其他点。如图：从向量p0p3（p3是任意选的，最终要将除p0外的所有点选到即可）开始，p1在向量p0p3左边，不变；p2在p0p3左边，向量不变；p4在p0p3右边，这时要将比较的向量变为p0p4；继续遍历p5，p5在p0p4右边，向量变为p0p5；继续遍历p6,p6在向量p0p5右边，向量变为p0p6；遍历p7，p7在向量p0p6右边，向量变为p0p7，这一趟下来就将p7这一个最右边的点找到了。同样的方法排序其他点，最后向量按与x轴正方向的顺序就是{p7,p6,p5,p4,p3,p2,p1},依次递增。
（4）构造凸包：
第一步：首先将基点p0入栈，p1和p2也依次入栈；
第二步：取栈顶的前两个点构成向量，即向量<p(k-1),pk>；
第三步：判断点p(k+1)是否在向量的左边；
第四步：
情况1:若在向量的左边，则将点p(k+1)入栈，重复第二步；
情况2：若在向量的右边，将点pk出栈，继续取下一个点，重复步骤二。
第五步：最后栈中存储的点就为凸包。
三、编程实现
1、判断点p3是否在p1p2左边函数。（注意计算机屏幕坐标系与数学直角坐标系，y轴方向相反）
1 int CMyMath::Isleft(Cpoint2D p1,Cpoint2D p2,Cpoint2D p3) 2 { 3 int s; 4 s = (p1.x-p3.x)*(p2.y-p3.y)-(p1.y-p3.y)*(p2.x-p3.x); 5 if (s<0) 6 { 7 return 1; //点在直线左侧（对屏幕坐标系） 8 } 9 else if (s>0) 10 { 11 return 2;//点在直线右侧 12 } 13 else 14 { 15 return 0;//点在直线上 16 } 17 }
2、定义一个点类
1 class Cpoint2D 2 { 3 public: 4 Cpoint2D(); 5 Cpoint2D(int x,int y); 6 virtual ~Cpoint2D(); 7 public: 8 int id; 9 int x,y; 10 };
3、定义一个CGramhamCaclu类，用来生成凸包
1 class CGramhamCaclu 2 { 3 public: 4 CGramhamCaclu(); 5 CGramhamCaclu(CGramhamCaclu& crah); 6 virtual ~CGramhamCaclu(); 7 public: 8 CArray<Cpoint2D,Cpoint2D> InitialPoints;//保存最初点的集合 9 CArray<Cpoint2D,Cpoint2D> SortPoints; //保存排序后的点的集合 10 CArray<Cpoint2D,Cpoint2D> temparr;//用来起栈的作用，保存凸包中的点 11 int top1,top2;//栈顶前两项索引 12 int index; //基点的索引 13 public: 14 void DrawPoints(CDC* pDC);//画原始点 15 void DrawMinmumPolygon(CDC*pDC);//画凸包 16 void CaculTuBao();//计算凸包 17 protected: 18 void InitialSortPoints(); 19 int FindBasePoint(CArray<Cpoint2D,Cpoint2D>& cp);//找基点 20 void Exchange(int index1,int index2); 21 bool Sort();//排序 22 void Stack();//构造凸包 23 };
4、CGramhamCaclu类详细代码
////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Construction/Destruction ////////////////////////////////////////////////////////////////////// CGramhamCaclu::CGramhamCaclu() { } CGramhamCaclu::CGramhamCaclu(CGramhamCaclu& crah) { } CGramhamCaclu::~CGramhamCaclu() { } ///画原始点 void CGramhamCaclu::DrawPoints(CDC* pDC) { CPen * pen = new CPen(0,1,RGB(255,0,0)); CPen * oldpen = pDC->SelectObject(pen); int x,y; for (int i=0;i<InitialPoints.GetSize ();i++) { x = InitialPoints[i].x; y = InitialPoints[i].y; pDC->Ellipse(x-3,y-3,x+3,y+3);//画点 CString s; s.Format("%d",i); pDC->TextOut(x,y,s);//画序号 } pDC->SelectObject(oldpen); } //画凸包 void CGramhamCaclu::DrawMinmumPolygon(CDC* pDC) { CPen * pen = new CPen(0,1,RGB(255,0,0)); CPen * pen1 = new CPen(1,2,RGB(0,255,0)); int size = temparr.GetSize(); if (size>=3) { CPen * oldpen = pDC->SelectObject(pen); CString s("基点"); pDC->TextOut(InitialPoints[index].x,InitialPoints[index].y,s); //画每个点与基点构成的向量，可以不要 // for (int i1=1;i1<SortPoints.GetSize();i1++) // { // pDC->MoveTo(SortPoints[0].x,SortPoints[0].y); // pDC->LineTo(SortPoints[i1].x,SortPoints[i1].y); // } pDC->SelectObject(oldpen); CPen * oldpen1 = pDC->SelectObject(pen1); pDC->MoveTo(temparr[0].x,temparr[0].y); for ( int i=1;i<size;i++) { pDC->LineTo(temparr[i].x,temparr[i].y); } pDC->LineTo(temparr[0].x,temparr[0].y); pDC->SelectObject(oldpen1); } } //凸包计算 void CGramhamCaclu::CaculTuBao() { if (InitialPoints.GetSize()>=3) { InitialSortPoints();//初始化排序数组 CGramhamCaclu::index = FindBasePoint(SortPoints);//找基点 if (CGramhamCaclu::index>=0) { Exchange(CGramhamCaclu::index,0); bool sort = Sort(); //排序 if (sort) { Stack();//栈操作 } } } } //初始化排序数组 void CGramhamCaclu::InitialSortPoints() { if (InitialPoints.GetSize()>=3) { for (int i=0;i<InitialPoints.GetSize();i++) { SortPoints.Add (InitialPoints[i]); } } } //找基点 int CGramhamCaclu::FindBasePoint(CArray<Cpoint2D,Cpoint2D>& cp) { Cpoint2D cpd; int index =-1; CArray<int,int> carray; if (cp.GetSize()>=3) { index = 0; cpd = cp[0]; //找一个y最大值 for (int i=1;i<cp.GetSize();i++) { if (cpd.y<cp[i].y) { cpd = cp[i]; index = i; } } //找所有y最大值 for (int j=0;j<cp.GetSize();j++) { if (cp[j].y == cp[index].y) { carray.Add (j); } } //找x最大值 if (carray.GetSize()>1) { index = carray[0]; for (i=0;i<carray.GetSize();i++) { if (cp[index].x<cp[carray[i]].x) { index = carray[i]; } } } } return index; } //交换位置 void CGramhamCaclu::Exchange(int index1,int index2) { Cpoint2D temp; temp = SortPoints[index1]; SortPoints[index1] = SortPoints[index2]; SortPoints[index2] = temp; } //排序 bool CGramhamCaclu::Sort() { if (SortPoints.GetSize()<3) { return false; } Cpoint2D basePoint = SortPoints[0]; int isleft; for (int i=1;i<SortPoints.GetSize();i++) { for (int j=i+1;j<SortPoints.GetSize();j++) { isleft = CMyMath::Isleft(basePoint,SortPoints[i],SortPoints[j]); if (isleft==2) { Exchange(i,j); } } } return true; } //构造凸包 void CGramhamCaclu::Stack() { if (SortPoints.GetSize()>=3) { temparr.Add(SortPoints[0]); temparr.Add(SortPoints[1]); top1 = 1; top2 = 0; } int isleft; for (int i=2;i<SortPoints.GetSize();i++) { isleft = CMyMath::Isleft(temparr[top2],temparr[top1],SortPoints[i]); if (isleft==1) { temparr.Add(SortPoints[i]); top1++; top2++; } if (isleft==2) { temparr.RemoveAt(top1,1); top1--; top2--; i--; } } }
5、测试结果图
