图像切割—基于图的图像切割（Graph-Based Image Segmentation）
Reference:
Efficient Graph-Based Image Segmentation,IJCV 2004,MIT Code
最后一个暑假了，不打算开疆辟土了。战略中心转移到品味经典。计划把图像切割和目标追踪的经典算法都看一看。再记些笔记。
Graph-Based Segmentation 是经典的图像切割算法，作者Felzenszwalb也是提出DPM算法的大牛。该算法是基于图的贪心聚类算法，实现简单。速度比較快，精度也还行。
只是。眼下直接用它做切割的应该比較少，毕竟是99年的跨世纪元老，可是非常多算法用它作垫脚石。比方Object Propose的开山之作《Segmentation as Selective Search for Object Recognition》就用它来产生过切割（oversegmentation）。还有的语义切割(senmatic segmentation )算法用它来产生超像素（superpixels）详细忘记了……
图的基本概念
由于该算法是将照片用加权图抽象化表示，所以补充图的一些基本概念。
图是由顶点集
（vertices）和边集
（edges）组成，表示为
。顶点
，在本文中即为单个的像素点。连接一对顶点的边
具有权重
，本文中的意义为顶点之间的不相似度，所用的是无向图。
树：特殊的图。图中随意两个顶点，都有路径相连接，可是没有回路。如上图中加粗的边所连接而成的图。假设看成一团乱连的珠子，仅仅保留树中的珠子和连线。那么随便选个珠子，都能把这棵树中全部的珠子都提起来。假设，i和h这条边也保留下来。那么顶点h,i,c,f,g就构成了一个回路。
最小生成树（MST, minimum spanning tree）：特殊的树。给定须要连接的顶点，选择边权之和最小的树。
上图即是一棵MST
本文中，初始化时每个像素点都是一个顶点，然后逐渐合并得到一个区域，确切地说是连接这个区域中的像素点的一个MST。如图，棕色圆圈为顶点。线段为边。合并棕色顶点所生成的MST，相应的就是一个切割区域。切割后的结果事实上就是森林。
相似性
既然是聚类算法，那应该根据何种规则判定何时该合二为一，何时该继续划清界限呢？
对于孤立的两个像素点，所不同的是颜色，自然就用颜色的距离来衡量两点的相似性，本文中是使用RGB的距离，即
当然也能够用perceptually uniform的Luv或者Lab色彩空间，对于灰度图像就仅仅能使用亮度值了，此外。还能够先使用纹理特征滤波，再计算距离，比方，先做Census Transform再计算Hamming distance距离。
全局阈值à自适应阈值
上面提到应该用亮度值之差来衡量两个像素点之间的差异性。对于两个区域（子图）或者一个区域和一个像素点的相似性，最简单的方法即仅仅考虑连接二者的边的不相似度。
如图，已经形成了棕色和绿色两个区域，如今通过紫色边来推断这两个区域是否合并。
那么我们就能够设定一个阈值，当两个像素之间的差异（即不相似度）小于该值时，合二为一。
迭代合并，终于就会合并成一个个区域。效果类似于区域生长：星星之火，能够燎原。
显然，上面这张图应该聚成右图所思的3类，高频区h,斜坡区s,平坦区p。
假设我们设置一个全局阈值。那么假设h区要合并成一块的话，那么该阈值要选非常大。可是那样就会把p和s区域也包括进来。切割结果太粗。假设以p为參考，那么阈值应该选特别小的值，那样的话。p区是会合并成一块。可是，h区就会合并成特别特别多的小块，如同一面支离破碎的镜子，切割结果太细。
显然，全局阈值并不合适，那么自然就得用自适应阈值。对于p区该阈值要特别小，s区稍大。h区巨大。
对于两个区域（原文中叫Component,实质上是一个MST,单独的一个像素点也能够看成一个区域）,本文使用了很直观，但抗干扰性并不强的方法。先来两个定义。原文根据这两个附加信息来得到自适应阈值。
一个区域的类内差异
：
能够近似理解为一个区域内部最大的亮度差异值，定义是MST中不相似度最大的一条边。
两个区域的类间差异
：
即连接两个区域全部边中，不相似度最小的边的不相似度，也就是两个区域最相似的地方的不相似度。
那么直观的推断是否合并的标准：
等价条件
解释： 
，
各自是区域
和
所能忍受的最大差异，当二者都能忍受当前差异
时。你情我愿，一拍即合，仅仅要有一方不愿意，就不能强求。
特殊情况。当二者都是孤立的像素值时。
，全部像素都是"零容忍"仅仅有像素值全然一样才干合并。自然会导致过切割。所以刚開始的时候，应该给每一个像素点设定一个能够容忍的范围。当生长到一定程度时。就应该去掉该初始容忍值的作用。
原文条件例如以下
添加项
:
当中
为区域
所包括的像素点的个数，如此。随着区域逐渐扩大，这一项的作用就越来越小，最后差点儿能够忽略不计。那么
就是一个能够控制所形成的的区域的大小，假设。
那么，差点儿每一个像素都成为了一个独立的区域，假设
，显然整张图片都会聚成一块。所以，
越大。切割后的图片也就越大。
当然，能够採用中位数来应对超调，只是这就变成了一个NP难问题。证明见原文
形状相似
前面提到的用颜色信息来聚类，改动相似性衡量标准，能够聚类成我们想要的特定形状。
比方我们希望得到非常多长条形的区域，那么能够用聚类后的所形成的区域的面积/周长 + 亮度值的差 衡量两个子图或者两个像素之间的相似度。
由于长条形的面积/周长会比較小。
算法步骤
Step 1: 计算每个像素点与其8邻域或4邻域的不相似度。
如左边所看到的，实线为仅仅计算4领域。加上虚线就是计算8邻域。因为是无向图，依照从左到右。从上到下的顺序计算的话。仅仅须要计算右图中灰色的线就可以。
Step 2: 将边依照不相似度non-decreasing排列（从小到大）排序得到
。
Step 3: 选择
Step 4: 对当前选择的边
进行合并推断。设其所连接的顶点为
。假设满足合并条件：
（1）
不属于同一个区域
；
（2）不相似度不大于二者内部的不相似度。
则运行Step 5。否则运行Step 6
Step 5: 更新阈值以及类标号。
更新类标号：将
的类标号统一为
的标号。
更新该类的不相似度阈值为：
。
注意：因为不相似度小的边先合并，所以。
即为当前合并后的区域的最大的边，即
。
Step 6: 假设
，则依照排好的顺序。选择下一条边转到Step 4，否则结束。
结果
Segmentation parameters: sigma = 0.5, k= 500, min = 50.
Sigma：先对原图像进行高斯滤波去噪。sigma即为高斯核的
k: 控制合并后的区域的大小，见前文
min: 后处理參数，切割后会有非常多小区域，当区域
像素点的个数
小于min时。选择与其差异最小的区域
合并即
。
性质讨论
结果尽管不是非常好，但有非常好的全局性质。结论非常有意思，有兴趣的能够看看。
首先要说明的是，对于不论什么图像，始终存在一种切割方法，使得切割的结果既只是细。也只是粗。
可是并不唯一。
引理
假设step 4
时，
，但并没有合并，即
，那么肯定有一个区域已经切割好了，比方
，那么区域
的范围就不会再有添加，它将会成为终于的切割区域中的一个区域。
Proof:
如果。
，因为边是依照non-decreasing排序。所以剩下的连接
的边的不相似度肯定都不低于
。最小的边都不行，其余的边自然是靠边站了。
只是，原文说仅仅能仅仅有一个已经切割好了。可是我认为另一种情况。
而且
，那么这两个区都应该分好了才对呀。
Not Too fine
切割太细，也就是本来不应该分开的区域被拦腰截断。可是本算法是能保证有情人终成眷属的，绝对不会干棒打鸳鸯拆散一对是一对的事。
Proof:
反证法：如上图。本不应该切割，则应该满足条件
。如果分开了，那么必然存在一条边
导致二者没有合并。那么由前面的引理，必然存在一个区域成为终于切割结果的一部分，如果为A部分，再回溯到推断这条边的时候。必然有。
，从而
，因为是按non-decreasing
顺序，所以A部分和B部分最小的边就是
，那么
与如果条件矛盾。
Not Too coarse
切割太粗。也就是本应该分开的区域没有分开。但本算法能保证当断则断。不会藕断丝连。
反证法：如上图。本应该切割，则应满足条件
。如果还是
，
为连接A,B最小的边。如果合并了，因为
。并且是non-decreasing
顺序，所以在判定边
之前A区域已经形成。
假设切割过粗。则判定这条边时最小的边满足
，则必然
使得二者合并了。
和条件矛盾。
等权边处理先后次序的影响
假设两条边
。
的权值同样，那么排序时候。谁排前头。谁落后面有影响吗？结论是木有。
Proof:
Case1：
，
连接的区域同样，即
，
连接的都是区域
。那么它俩谁在前面都没关系。
Case2：
，
连接的区域全然不同，比方
连接区域，
，
连接区域
,那么谁先谁后，都不影响
是否合并，也不影响
是否合并。
Case3：
连接
,
连接
Case3-1：
在先。
在后，而且，
使得
合并。交换二者处理顺序。先处理
。后处理
。
假设
不合并
，那不影响
合并
；假设
合并
，那么合并后的
，照样合并。
Case3-2：
在先，
在后，而且，
不合并
，交换二者处理顺序。先处理
，后处理
。假设是
。
那
是否合并
。都不会使得
合并；假设
,那相同也有
，相同也没影响。
补充：
彩色图片
对于彩色图片，上文是将R,G,B作为距离。整张图片仅仅进行一次切割。原文说对每个通道都进行一次切割，最后对结果取交集，也就是说图片中的两个点要划分到同一个区域，则在R,G,B三个通道的划分结果中。它俩得始终在同一个区域。原文说这样效果更好……只是他的程序是採用一次切割。
Nearest Neighbor Graphs
前文是仅仅用了空间位置
来构件图的连接关系，缺点是明显的，空间不相邻，色彩全然一样也白搭，于是中间略微有断开都会分成多个部分。于是还有一种更为平等的策略是二者一块考虑，先映射到特征空间
。再构建图。此时有连接关系的就不一定是4/8邻域了，因为有
对边。因此假设考虑全部边的连接关系的话，太恐怖了！原文是对每一个像素点找10个欧氏距离近期的点即10近期邻。构建图。当然。第二种方法不是固定邻居数目，而是限定距离范围。
那么类内距离
的解释就和直观了。类内最短的距离，那么会以这条边为半径，在特征空间构成一个超球体，只是会和别人有相交。
相同还是两个类直接的最短距离。
找10-NN太累，原文採用近似算法ANN《Approximate nearest neighbor searching》来找10近邻。快。
剩下的和上面一样，可是有一点我没明确，就是
的更新，比方上图。肯定是用绿色这条线更新，那么
的意义就不再是包括集合全部点的最短半径了，求解？
结果例如以下：能够看到被栏杆分开的草地也连在一块了，以下的花朵也属于同一个类别
下个星期写Mean shift，敬请期待