4.2 何谓递归
递归是解决问题的一种方法，它将问题不断地分成更小的子问题，直到子问题可以用普通的方法解决。通常
情况下，递归会使用一个不停调用自己的函数。尽管表面上看起来很普通，但是递归可以帮助我们写出非常优雅
的解决方案。对于某些问题，如果不用递归，就很难解决。
4.2.1 计算一列数之和
我们从一个简单的问题开始学习递归。即使不用递归，我们也知道如何解决这个问题。假设需要计算数字列
表[1, 3, 5, 7, 9]的和。代码清单4-1展示了如何通过循环函数来计算结果。这个函数使用初始值为0的累加变量
theSum，通过把列表中的数加到该变量中来计算所有数的和。
代码清单4-1 循环求和函数
def listsum(numlist):
thesum = 0
for i in numlist:
thesum = thesum + i
return thesum
假设暂时没有while循环和for循环。应该如何计算结果呢？如果你是数学家，就会记得加法是接受两个参数
（一对数）的函数。将问题从求一列数之和重新定义成求数字对之和，可以将数字列表重写成完全括号表达式，
例如((((1 + 3) + 5) + 7) + 9)。该表达式还有另一种添加括号的方式，即(1 + (3 + (5 + (7 + 9))))。注意，最内
层的括号对(7 + 9)不用循环或者其他特殊语法结构就能直接求解。事实上，可以使用下面的简化步骤来求总和。
总和 = (1 + (3 + (5 + (7 + 9))))
总和 = (1 + (3 + (5 + 16)))
总和 = (1 + (3 + 21))
总和 = (1 + 24)
总和 = 25
如何将上述想法转换成Python程序呢？让我们用Python列表来重新表述求和问题。数字列表numList的总
和等于列表中的第一个元素（numList[0]）加上其余元素（numList[1:]）之和。可以用函数的形式来表述这个
定义。返回列表中的第一个元素，则返回其余元素。用Python可以轻松地实现这个等式，如代码清单4-2所示。
代码清单4-2 递归求和函数
def listsum(numlist):
if len(numlist) == 1:
return numlist[0]
else:
return numlist[0] + listsum(numlist[1:])
在这一段代码中，有两个重要的思想值得探讨。首先，第2行检查列表是否只包含一个元素。这个检查非常
重要，同时也是该函数的退出语句。对于长度为1的列表，其元素之和就是列表中的数。其次，listsum函数在第
5行调用了自己！这就是我们将listsum称为递归函数的原因——递归函数会调用自己。
图4-1展示了在求解[1, 3, 5, 7, 9]之和时的一系列递归调用。我们需要将这一系列调用看作一系列简化操作。
每一次递归调用都是在解决一个更小的问题，如此进行下去，直到问题本身不能再简化为止。
图4-1 求和过程中的递归调用
当问题无法再简化时，我们开始拼接所有子问题的答案，以此解决最初的问题。图4-2展示了listsum函数
在返回一系列调用的结果时进行的加法操作。当它返回到顶层时，就有了最终答案。
图4-2 求和过程中的一系列返回操作
4.2.2 递归三原则
正如阿西莫夫提出的机器人三原则一样，所有的递归算法都要遵守三个重要的原则：
(1) 递归算法必须有基本情况；
(2) 递归算法必须改变其状态并向基本情况靠近；
(3) 递归算法必须递归地调用自己。
让我们来看看listsum算法是如何遵守上述原则的。基本情况是指使算法停止递归的条件，这通常是小到足
以直接解决的问题。listsum算法的基本情况就是列表的长度为1。
为了遵守第二条原则，必须设法改变算法的状态，从而使其向基本情况靠近。改变状态是指修改算法所用
的某些数据，这通常意味着代表问题的数据以某种方式变得更小。listsum算法的主数据结构是一个列表，因此
必须改变该列表的状态。由于基本情况是列表的长度为1，因此向基本情况靠近的做法自然就是缩短列表。这正
是代码清单4-2的第5行所做的，即在一个更短的列表上调用listsum。
最后一条原则是递归算法必须对自身进行调用，这正是递归的定义。对于很多新手程序员来说，递归是令
他们颇感困惑的概念。新手程序员知道如何将一个大问题分解成众多小问题，并通过编写函数来解决每一个小
问题。然而，递归似乎让他们落入怪圈：有一个需要用函数来解决的问题，但是这个函数通过调用自己来解决
问题。其实，递归的逻辑并不是循环，而是将问题分解成更小、更容易解决的子问题。