波、波长与频率

1. 练习

两个频率相同的波源，在振动过程中，它们的运动方向始终相反（sin,−sin），由这两个波源激起的波传到某点 P 时，在 P 点出现振动始终抵消的现象，则 P 点到两波源的距离之差应为：半波长的偶数倍。

2. 多普勒效应

生活中有这样一个有趣的现象：当一辆救护车迎面驶来的时候，听到声音（音调）越来越高；而车离去的时候声音越来越低。你可能没有意识到，这个现象和医院使用的彩超同属于一个原理，那就是“多普勒效应”。

多普勒效应 Doppler effect 是为纪念奥地利物理学家及数学家克里斯琴·约翰·多普勒（Christian Johann Doppler）而命名的，他于 1842 年首先提出了这一理论。主要内容为物体辐射的波长因为波源和观测者的相对运动而产生变化。

在运动的波源前面，波被压缩，波长变得较短，频率变得较高（蓝移 blue shift）；在运动的波源后面时，会产生相反的效应。波长变得较长，频率变得较低（红移 red shift）；波源的速度越高，所产生的效应越大。根据波红（蓝）移的程度，可以计算出波源循着观测方向运动的速度。

多普勒效应是波的一种特性，除了机械波之外，其它的波也有多普勒效应。

3. 谐音

• 第一谐音

  某物体，比如一根弦，无法随着更低的频率晃动，称之为第一（最小）谐音。有时也被称为，基（fundamental）谐音；

  sin(12θ),θ∈[0,2π]

  中间没有不动的点；

• 第二谐音

  sin(θ),θ∈[0,2π]

  中间出现一个不动的点；

• 第三谐音

  −sin(32θ),θ∈[0,2π]

  中间有两个不动的点；

也即如果第一谐音是 100 Hz，则第二谐音是 200 Hz，…，自然数倍；

为何某些弦的基谐音比其他弦更低呢？

• 长度，弦越长，其第一谐音会比短弦频率低
• 张力（tension，从两边拉弦，也叫拉力），张力越大，第一谐音越高；
• 单位弦重，重量越高，第一谐音就会降低；