多维随机变量与其对应的分布

0. 多维随机变量

一般，设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S={e}，设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量，由它们构成的一个向量 (X,Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量。

• 二维随机向量 (X,Y) 的性质不仅与 X 与 Y 有关（各自的分布形式），而且还依赖于这两个随机变量的相互关系（是否独立等）。

联合分布函数的定义：设 (X,Y) 是二维随机变量，对于任意实数 x,y，二元函数：

F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P(X≤x,Y≤y)

称为二维随机变量 (X,Y) 的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。

• 某地区学龄前儿童的身高和体重；
• 炮弹落点的横纵坐标；

多维随机变量的联合分布函数除了具有一般分布函数的 3 条性质之外，还一条：

P{x1≤X≤x2,y1≤Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)−F(x1,y2)≥0

1. Z=X+Y 的分布

设 (X,Y) 是二维连续型随机变量，它具有概率密度 f(x,y)，则 Z=X+Y 为连续型随机变量，其概率密度为：

fX+Y(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dx

或：

fX+Y(z)=∫∞−∞f(z−y,y)dy

又若 X 和 Y 相互独立，设 (X,Y) 关于 X,Y 的边缘密度分别为 fX(x)，fY(y)，则：

fX+Y(z)=∫∞−∞fX(x)⋅fY(z−x)dx

2. 例题

设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，它们都服从 N(0,1) 分布，求 Z=X+Y 的概率密度。

fZ(z)=∫∞−∞fX(x)fY(z−x)dx

结论，一般，设 X,Y 相互独立且 X∼N(μ1,σ21),Y∼N(μ2,σ22)，经过计算 Z=X+Y 仍然服从正态分布，且有 Z∼N(μ1+μ2,σ21+σ22)；