图的概念及性质

数据结构中所说的图有两点限制：

• 不考虑顶点到自身的边，也即是若 <vi,vj>或(vi,vj) 是图 G 的边，则要求 vi≠vj；
• 同一对顶点之间没有重复出现的边（也即两点之间，要么没有边，要么仅有一条边），若 <vi,vj> 或 (vi,vj) 是图 G 的边，那么它就是这两个顶点之间唯一的边；

当然，去掉这两个限制也将得到另一类稍微不同的数学对象。

1. 概念

完全图：任意两个顶点（两个不同的顶点）之间都有边的图（有向图或无向图）；

• n 个顶点的无向完全图有 (n2) 条边；
• n 个顶点的有向完全图有 n⋅(n−1) 条边；

连通（连通的实际含义就是两地之间存在路径）图：

• 连通无向图：如果无向图 G 中任意两个顶点 vi 和 vj 之间都连通；
• 强连通有向图：如果对有向图 G 任意两个顶点 vi 和 vj 都互相连通。

有根图：如果在有向图 G 里存在一个顶点 v，从顶点 v 到图 G 中其他顶点均有路径，则称 G 为有根图；

• 有根图的根可能不唯一；

子图与连通子图：一个图可能不是连通图（或强连通图），但它的一些子图则是可能连通的（或强连通的），这种子图称为原图的连通子图（对于有向图，称为强连通子图）

图与网络：如果图 G 中的每条边都被赋予一个权值，则称 G 为一个带权图（可以是带权有向图或者带权无向图）。边的权值可用于表示实际应用中与顶点之间的关联有关的某些信息。

带权的连通无向图被称为网络；

2. 性质

• 顶点数、边数和顶点度数的关系

  e=12∑iD(vi)

  对于有向图，D(vi) 表示顶点 vi 的出度+入度；

  结论是显然地，可用简单的数学归纳法；也可通过想象，两个点才对应一个边（无向图），边的个数是度数的一半；

• 最小连通无向图的边数与顶点的关系

  包含 n 个顶点的最小连通无向图 G 恰有 n-1 条边；

  2 ⇒ 1，3 ⇒ 2

  n ⇒ n-1

  使用数学归纳法即可证明：新增加一个结点， 只需引入一个到其他任何节点的边；

• 最小有根图的边数与顶点的关系，

  包含 n 个顶点的最小有根图（即去掉任何一条边将不再有根图）恰好包含 n-1 条边，
  同理，使用数学归纳法；

  根据 2 ⇒ 1，3 ⇒ 2，提出假设，n ⇒ n-1
  引入一个新的顶点，找到之前的根，⇒ 得证；

3. 图与树的关系

所谓的树，就是从唯一的根节点出发，能到达任何其他结点；

• 最小连通无向图（n 个顶点 ⇒ n−1 条边）：无向树
  当然因为连通图是彼此互通的，无向树中的任何一个顶点都可以看做树的根，因此是无向的；
• 最小有根图（n 个顶点 ⇒ n−1条边）：有向树，有根图的根可以看做树根，树中因此存在树根到其他每一个顶点的路径；