概率空间

概率空间不是简单的样本空间。概率空间 (Ω,F,P)，样本空间 Ω 显然不是一回事。

1. 定义

概率空间是概率论的基础。概率的严格定义基于这个概念。
概率空间 (Ω,F,P) 是一个总测度为1的测度空间（即 P(Ω)=1，Ω 表示的是样本空间）.

• 1）我们要有一个集合 Ω ——在你的常识中，它是一个随机事件所有可能结果的集合。比如投掷一个骰子，骰子向上那一面的点数，它是｛1，2，3，4，5，6｝。：集合；
• 2）我们要明确我们所希望讨论的对象，它们是 Ω 的子集，他们的全体记作 F——他们像是“事件”，比如“骰子向上的点数是偶数”（也就是｛2，4，6｝）是其中的元素。：可测集；
• 3） 我们将在F上定义一个函数 P——称为概率。测度；

有了概率空间的定义（(Ω,F,P)），再来定义随机变量（ξ(w)）需要满足：

• (ξ(w)<x)∈F（可测性）
  
  • 更完整地说，{w∣∣ξ(w)<x}∈F，w 表示的是事件；

紧接着再来定义：

• 分布函数 Fξ(w)(x)=P(ξ(w)<x)，
• 多维随机变量 (ξ1(w),ξ2(w),…,ξn(w))
• 随机变量序列 ξ1(w),ξn(w),…,ξn(w)，并讨论其收敛性（在这里又会引入特征函数）：
  
  • 依分布收敛；
  • 依 ℓ2 收敛；

初等概率中随机变量序列其实就是一个随机过程（离散时间）。（将下标看成时间的表示，第一年，第二年，,,,,）