随机化算法

随机化算法（randomized algorithm）

随机化算法（randomized algorithm）的运行时间不只依赖于特定的输入，而且依赖于所发生的随机数。

对于快排而言，使用随机枢纽元（pivot），将获得 O(NlogN) 的期望时间。

1. 随机数生成器（generator）

产生随机数的最简单方法是线性同余数发生器，它于 1951 年由 Lehmer 首先提出。随机数列 xi 的生成满足：

xi+1=A⋅ximodM

为了开始这个序列，必须给出 x0 某个值，这个值就做种子（seed）。如果 x0=0，那么这个序列永远不是随机的，但是如果 A 和 M 选择得正确，对于任何地 1≤x<M 都是同等有效的。如果 M 是素数，那么 xi 就绝不会是 0.，比如作如下取值，A=7,M=11，x0=1，那么所产生的随机数为：

• 7,5,2,3,10,4,6,9,8,1,7,5,2…（循环出现）

# n 控制随机数的个数
def randgen(n):
    A, M, x = 7, 11, 1
    for _ in range(n):
        x = x*A % M
        yield x

如果 M 选择得很大，比如 31 比特（7FFF FFFF）的素数，那么对于大部分的应用来说，周期是非常长的，Lehmer 建议使用 31 个比特的素数 M=231−1=2147483647。对于这个素数，A=48271 是给出整周期发生器的许多值中的一个。

C 程序员来说，在实现时，全局变量用来存放随机数序列的当前值（本文件全局可见）。这个全局变量交由某个程序初始化。当在调试一个使用随机数的程序的时候，最好设置种子（seed，也即 x0）为 1，这使得总是出现相同的随机序列（伪随机序列）。当程序工作时，可以使用系统时钟（时刻都在变化），也可以要求用户输入一个值作为种子。

static unsigned long Seed = 1;
#define A 48271 
#define M 2147483647

double Random() {
    Seed =  (Seed * A) % M;
    return (double) Seed / M;
            // (0, 1)
}

void Init(unsigned long InitVal) {
    Seed = InitVal;
}

对程序中的加法和乘法一定要特别注意，因为这些运算可能会产产生溢出，虽然不会提示错误，但会影响最终的结果，从而影响伪随机性。

Schrage 给出了一个即使在 32 位机器上执行也不会发生溢出的方案，计算 M/A 的商和余数分别为 Q （quotient）和 R（Remainder）。在 A = 48271，M = 231−1 时，Q = 44 488，R = 3399，R < Q，

则有：

xi+1===A⋅ximodM=A⋅xi−M⌊A⋅xiM⌋A⋅xi−M⌊xiQ⌋+M⌊xiQ⌋−M⌊A⋅xiM⌋A⋅xi−M⌊xiQ⌋+M(⌊xiQ⌋−⌊A⋅xiQ⌋)

等等经历一系列等价替换之后，最终得：

xi+1=A⋅(ximodQ)−R⌊xiQ⌋+Mδ(xi)

其中 δ(xi) 的值非 0 即 1。仅当余项的值（A⋅(ximodQ)−R⌊xiQ⌋）小于 0 时，δ(xi)=1，

static unsigned long Seed = 1;
#define A 48271
#define M 2147483647
#define Q ( M / A )
#define R ( M % R )

double Random() {
    Seed = A*(Seed % M) - R * (Seed / Q);
    if (Seed < 0)
        Seed += M;
    return (double) Seed / M;
}

void Init(unsigned long InitVal) {
    Seed = InitVal;
}