采样定理

0. 信号与系统基本概念

• 信道（information channel）：指传送信息（从 A 地到 B 地）必须通过具体的媒质；
• 频带（frequency band）：对信道而言，频带就是允许传送的信号的最高频率与允许传送的信号的最低频率这之间的频率范围(当然要考虑衰减必须在一定范围内)；
• 带宽（bandwidth），信号所占据的频带宽度；在被用来描述信道时，带宽是指能够有效通过该信道的信号的最大频带宽度。
  
  • 对于模拟信号而言，带宽又称为频宽，以赫兹（Hz）为单位；
    
    • 例如模拟语音电话的信号带宽为 3400Hz，
    • 一个 PAL-D 电视频道的带宽为 8MHz（含保护带宽）。
  • 对于数字信号而言，带宽是指单位时间内链路能够通过的数据量。
    
    • 例如ISDN 的 B 信道带宽为 64 Kbps。
    • 由于数字信号的传输是通过模拟信号的调制完成的，为了与模拟带宽进行区分，数字信道的带宽一般直接用波特率或符号率来描述。

2. 傅里叶变换

关于傅立叶变换——“一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号”——怎么理解？ - 知乎

傅立叶变换的形式具有一定的对称性（虽然不完全对称）。所以采样定理的对偶形式也存在：就是说，如果一个信号的时长有限，那么其频域也只需要离散采样就能完全重建。

来看 DFT，公式如下：

x^[k]=∑n=0N−1x[n]e−i2πNkn

也就是说，DFT 将长度为 N 的离散时间信号表示为 0~N-1，共 N 个复指数相加的形式：

eix=cosx+isinx

对于一个正弦或余弦函数，有相位、幅度和角频率三个参数可以考虑，这里只考虑角频率。
可以看到这里的角频率是2πn/N , 共有0， 2π/N， 2*2π/N，3*2π/N,………………(N-1)*2π/N，N*2π/N,共N种角频率。函数的自变量是离散的 k。

然而，cosk⋅2π/N 和 cosk⋅(N−1)⋅2π/N，角度相加为 2πk；

因此有：cosk⋅2π/N=cos(2π⋅k−k⋅(N−1)⋅2π/N)=cosk⋅(N−1)⋅2π/N 。以一种简单的形式看来，即为 f(1)=f(N−1),f(2)=f(N−2),...

所以如果N是偶数，上述的N种角频率中，除了0和2N*2π/N，其他的N-2种中有一半都相当于和另外一半的角频率是一样的。

所以总共一共有2+(N-2)/2即N/2+1种不同角频率。也就是N/2+1种不同频率。（从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围）

3. 采样定理

• 一个模拟信号，经过 ADC （Analog to Digital Converter）采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍。
• 如果已知一个信号（连续信号）的带宽有限，也就说明了该信号有一定的时域相关性（即不完全随机）（换句话说，一个完全时域无关的信号，带宽无限，或者说，带宽足够大）。
• 那么只要采用足够的离散取样，就能完全重建（而不是有损重建）这个连续信号。

因此，进一步地，如果你的输入信号是一个数字信号（采样后的，经过模数转换之后的），那么你也就预先假定了这个信号的采样频率只能恢复原来的连续信号中一定范围的频率（带宽，以频率为单位）。