概率相关的证明

• P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
  
  • 画图可知；

1. A⊂B ⇒ P(A)≤P(B)

A⊂B⇓B=A∪(B∖A)⇓B=A∪(B∩Ac)⇓P(B)=P(A)+P(B∩Ac)

由概率的非负性可知，P(B∩Ac)≥0，因此 P(B)≥P(A)；

2. 概率连续性的证明

• Continuity of probability：if An→A, P(An)→P(A),n→∞

  • 当 An 序列是单调增的，A1⊂A2⊂A3⋯An

    这道题目，我们采用构造的方式进行，不妨令 B1=A1，B2={w∈A2∖A1}，同理，继续构造 B3={w∈A3,w∉⋯}，这样所有的 Bi 就都是不相交的，因此，也有：

    An=∪iAi=∪iBi

    因此（Bi 不相交）也就有了（两边用 P(⋅) 作用）：

    P(An)=∑iP(Bi)=P(A)

  • 当 An 序列不是单调时，我们仍然可以构造出另外一个单调的序列，

  A~1=A1∩A,A~2=(A1∪A2)∩A,A~3=(A1∪A2∪A3)∩A

3. 条件独立（CI）

X⊥Y|Z⇔p(x,y|z)=h(x,z)⋅g(y,z)

等式两边同时对 x 积分（对称地，对 y 进行积分）：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪p(y|z)⋅1h(z)=g(y,z)p(x|z)⋅1g(z)=h(x,z)

两式相乘 h(x,z)⋅g(y,z)=p(y|z)⋅1h(z)⋅p(x|z)⋅1g(z)，又由题设可知，h(x,z)⋅g(y,z)=p(x,y|z)，因此，

p(x,y|z)=p(y|z)⋅1h(z)⋅p(x|z)⋅1g(z)

等式两边同时对 x,y 进行积分，则可得：

1h(z)1g(z)=1

因此等式成立。