1. 定义
设
现考虑
- 标量乘法:
g(kx)=kg(x) - 加法:
(f+g)(x)=f(x)+g(x) (向量加法,是由定义出来的)
在上述意义下,可以证明
最后,更准确的说,对偶空间里的元素是“线性泛函”(linear functional),这是一种特殊的线性映射。
2. 简单性质
covector:vectors in the dual space,对偶空间中的向量称为 covector(协向量)
α∈V⋆,v∈V⇒α(v)∈R ,covector 以 vector 为输入,以 scalar 为输出;从基的角度继续考察对偶空间,如果
V 表示一个有限维空间,则dimV=dimV⋆ - 假定
V:{ei}i=1,…,n (由基向量长成的线性空间),V⋆={ei}i=1,…,n ,则有如下的定义:
ei(ej)=δij={1,0,i=jotherwise 对偶空间中的向量称为 covector,如性质一所说,covector 接受线性空间中的向量,输出一个标量;
- 假定