【证明】【一题多解】【等价转换】—— 排列组合的计算 - 润新知

【证明】【一题多解】【等价转换】—— 排列组合的计算
1. 组合数的等价转换
- 递推关系（降低规模）：
${\begin{aligned} (\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1}) \\ (\binom{n}{k}) = \frac{n}{n - k} (\binom{n - 1}{k}) \end{aligned}$
- 拆分成两项
  
  $(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1})$
  
  有如下两种形式的证明：
  - 根据组合数的定义（ $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ ），各自展开进行证明；
  - 《算法导论》提供了另外的思路，从实际意义出发， $(\binom{n}{k})$ 表示 $n$ 个对象中选择 $k$ 个。考虑全体 $n$ 个对象中的任意一个（是否被选中），根据其是否在最终选择的 $k$ 个之中，可将 $(\binom{n}{k})$ 拆分成两项，
    
    在 $k$ 中，即从余下的 $n - 1$ 个对象中选择 $k - 1$ 个对象： $(\binom{n - 1}{k - 1})$
    
    不在 $k$ 中，即从余下的 $n - 1$ 个对象中选择 $k$ 个对象： $(\binom{n - 1}{k})$
    
    因此有： $(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1})$
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