一、左倾堆的介绍
左倾堆(leftist tree 或 leftist heap),又被成为左偏树、左偏堆,最左堆等。
它和二叉堆一样,都是优先队列实现方式。当优先队列中涉及到"对两个优先队列进行合并"的问题时,二叉堆的效率就无法令人满意了,而本文介绍的左倾堆,则可以很好地解决这类问题。
左倾堆的定义
上图是一颗左倾树,它的节点除了和二叉树的节点一样具有左右子树指针外,还有两个属性:键值和零距离。
(01) 键值的作用是来比较节点的大小,从而对节点进行排序。
(02) 零距离(英文名NPL,即Null Path Length)则是从一个节点到一个"最近的不满节点"的路径长度。不满节点是指该该节点的左右孩子至少有有一个为NULL。叶节点的NPL为0,NULL节点的NPL为-1。
左倾堆有以下几个基本性质:
[性质1] 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。
[性质2] 节点的左孩子的NPL >= 右孩子的NPL。
[性质3] 节点的NPL = 它的右孩子的NPL + 1。
二、左倾堆的图文解析
合并操作是左倾堆的重点。合并两个左倾堆的基本思想如下:
(01) 如果一个空左倾堆与一个非空左倾堆合并,返回非空左倾堆。
(02) 如果两个左倾堆都非空,那么比较两个根节点,取较小堆的根节点为新的根节点。将"较小堆的根节点的右孩子"和"较大堆"进行合并。
(03) 如果新堆的右孩子的NPL > 左孩子的NPL,则交换左右孩子。
(04) 设置新堆的根节点的NPL = 右子堆NPL + 1
下面通过图文演示合并以下两个堆的过程。
提示:这两个堆的合并过程和测试程序相对应!
第1步:将"较小堆(根为10)的右孩子"和"较大堆(根为11)"进行合并。
合并的结果,相当于将"较大堆"设置"较小堆"的右孩子,如下图所示:
第2步:将上一步得到的"根11的右子树"和"根为12的树"进行合并,得到的结果如下:
第3步:将上一步得到的"根12的右子树"和"根为13的树"进行合并,得到的结果如下:
第4步:将上一步得到的"根13的右子树"和"根为16的树"进行合并,得到的结果如下:
第5步:将上一步得到的"根16的右子树"和"根为23的树"进行合并,得到的结果如下:
至此,已经成功的将两棵树合并成为一棵树了。接下来,对新生成的树进行调节。
第6步:上一步得到的"树16的右孩子的NPL > 左孩子的NPL",因此交换左右孩子。得到的结果如下:
第7步:上一步得到的"树12的右孩子的NPL > 左孩子的NPL",因此交换左右孩子。得到的结果如下:
第8步:上一步得到的"树10的右孩子的NPL > 左孩子的NPL",因此交换左右孩子。得到的结果如下:
至此,合并完毕。上面就是合并得到的左倾堆!
左倾堆的基础代码:
1. 基本定义
template <class T> class LeftistNode{ public: T key; // 关键字(键值) int npl; // 零路经长度(Null Path Length) LeftistNode *left; // 左孩子 LeftistNode *right; // 右孩子 LeftistNode(T value, LeftistNode *l, LeftistNode *r): key(value), npl(0), left(l),right(r) {} };
LeftistNode是左倾堆对应的节点类。
template <class T> class LeftistHeap { private: LeftistNode<T> *mRoot; // 根结点 public: LeftistHeap(); ~LeftistHeap(); // 前序遍历"左倾堆" void preOrder(); // 中序遍历"左倾堆" void inOrder(); // 后序遍历"左倾堆" void postOrder(); // 将other的左倾堆合并到this中。 void merge(LeftistHeap<T>* other); // 将结点(key为节点键值)插入到左倾堆中 void insert(T key); // 删除结点(key为节点键值) void remove(); // 销毁左倾堆 void destroy(); // 打印左倾堆 void print(); private: // 前序遍历"左倾堆" void preOrder(LeftistNode<T>* heap) const; // 中序遍历"左倾堆" void inOrder(LeftistNode<T>* heap) const; // 后序遍历"左倾堆" void postOrder(LeftistNode<T>* heap) const; // 交换节点x和节点y void swapNode(LeftistNode<T> *&x, LeftistNode<T> *&y); // 合并"左倾堆x"和"左倾堆y" LeftistNode<T>* merge(LeftistNode<T>* &x, LeftistNode<T>* &y); // 将结点(z)插入到左倾堆(heap)中 LeftistNode<T>* insert(LeftistNode<T>* &heap, T key); // 删除左倾堆(heap)中的结点(z),并返回被删除的结点 LeftistNode<T>* remove(LeftistNode<T>* &heap); // 销毁左倾堆 void destroy(LeftistNode<T>* &heap); // 打印左倾堆 void print(LeftistNode<T>* heap, T key, int direction); };
LeftistHeap是左倾堆类,它包含了左倾堆的根节点,以及左倾堆的操作。
2. 合并
/* * 合并"左倾堆x"和"左倾堆y" */ template <class T> LeftistNode<T>* LeftistHeap<T>::merge(LeftistNode<T>* &x, LeftistNode<T>* &y) { if(x == NULL) return y; if(y == NULL) return x; // 合并x和y时,将x作为合并后的树的根; // 这里的操作是保证: x的key < y的key if(x->key > y->key) swapNode(x, y); // 将x的右孩子和y合并,"合并后的树的根"是x的右孩子。 x->right = merge(x->right, y); // 如果"x的左孩子为空" 或者 "x的左孩子的npl<右孩子的npl" // 则,交换x和y if(x->left == NULL || x->left->npl < x->right->npl) { LeftistNode<T> *tmp = x->left; x->left = x->right; x->right = tmp; } // 设置合并后的新树(x)的npl if (x->right == NULL || x->left == NULL) x->npl = 0; else x->npl = (x->left->npl > x->right->npl) ? (x->right->npl + 1) : (x->left->npl + 1); return x; } /* * 将other的左倾堆合并到this中。 */ template <class T> void LeftistHeap<T>::merge(LeftistHeap<T>* other) { mRoot = merge(mRoot, other->mRoot); }
merge(x, y)是内部接口,作用是合并x和y这两个左倾堆,并返回得到的新堆的根节点。
merge(other)是外部接口,作用是将other合并到当前堆中。
3. 添加
/* * 将结点插入到左倾堆中,并返回根节点 * * 参数说明: * heap 左倾堆的根结点 * key 插入的结点的键值 * 返回值: * 根节点 */ template <class T> LeftistNode<T>* LeftistHeap<T>::insert(LeftistNode<T>* &heap, T key) { LeftistNode<T> *node; // 新建结点 // 新建节点 node = new LeftistNode<T>(key, NULL, NULL); if (node==NULL) { cout << "ERROR: create node failed!" << endl; return heap; } return merge(mRoot, node); } template <class T> void LeftistHeap<T>::insert(T key) { mRoot = insert(mRoot, key); }
insert(heap, key)是内部接口,它是以节点为操作对象的。
insert(key)是外部接口,它的作用是新建键值为key的节点,并将其加入到当前左倾堆中。
4. 删除
/* * 删除结点,返回根节点 * * 参数说明: * heap 左倾堆的根结点 * 返回值: * 根节点 */ template <class T> LeftistNode<T>* LeftistHeap<T>::remove(LeftistNode<T>* &heap) { if (heap == NULL) return NULL; LeftistNode<T> *l = heap->left; LeftistNode<T> *r = heap->right; // 删除根节点 delete heap; return merge(l, r); // 返回左右子树合并后的新树 } template <class T> void LeftistHeap<T>::remove() { mRoot = remove(mRoot); }
remove(heap)是内部接口,它是以节点为操作对象的。
remove()是外部接口,它的作用是删除左倾堆的最小节点。
注意:关于左倾堆的"前序遍历"、"中序遍历"、"后序遍历"、"打印"、"销毁"等接口就不再单独介绍了。后文的源码中有给出它们的实现代码,Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)!
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