动态规划之最优二叉搜索树

Age wrinkles the body. Quitting wrinkles the soul. 岁月使皮肤起皱，放弃使灵魂起皱。——Douglas MacArthur（道格拉斯.麦克阿瑟）

《 算法导论》 学习笔记

1. 概述

　　利用最优二叉搜索树来实现树的搜索代价最小。树上的每一个节点都有一个被搜索到的概率值pi，搜索一个节点的花费为pi∗（depth(ki)+1），如何构造一个二叉查找树使搜索树上的 所有节点的花费最小即为实现最优二叉查找树的问题。该问题可以用动态规划的思路实现。
　　形式化定义：给定n个不同关键字已经排序的序列K=(k1,k2,...,kn)因此(k1<k2<k3<...<kn),我们希望用这些关键字构造一个二叉搜索树。对每个关键字ki,都有概率pi表示起搜索概率。有些要搜索的值可能不再K中，因此我们还需要n+1个伪关键字(d0,d1,d2,...dn)，对于每一个伪关键字都有一个概率qi表示对应的搜索概率。

2. 问题案例

　　n=5的关键字集合以及如下的搜索概率，构造二叉搜索树。
　　
　　
　　期望搜索代价的计算公式：
　　
　　
　　
　　我们已知：
　　
　　

3. 动态规划思路解析

Step1 :最优二叉搜索树的结构：为了刻画最有二叉搜索树的结构我们从观察子树特征开始。Op-BST的T的子树T’肯定也是Op-BST，我们可以使用剪切-粘贴法来证明。
Step2:递归算法的构建：我们给出最优解的递归定义，我们选取子问题为求包含关键字(ki,ki+1,...,kj)的最优二叉搜索树，其中i>=1,j<=n且j>=i−1(当j=i−1时，子树不包含实际关键字，只包含伪关键字di−1).定义e[i,j]为包含关键字(ki,ki+1,...,kj)的二叉搜索树进行一次搜索的期望代价，最后我们希望求解得到e[1,n]。

j=i-1的情况最简单，由于子树只含有伪关键字di−1因此，e[i,j]=qi−1
当j>=i时，我们需要从(ki,ki+1,...,kj)中选择一个跟结点kr,然后分别构造其左子树和右子树。下面需要计算以krE为根的树的期望搜索代价。然后选择导致最小期望搜索代价的kr做根。
现在需要考虑的是，当一棵树成为一个节点的子树时，期望搜索代价怎么变化？子树中每个节点深度都增加1.期望搜索代价增加量为子树中所有概率的总和。
对一棵关键字ki,…,kj的子树，定义其概率总和为：

w[i,j]=∑l=ijpl+∑l=i−1jql

因此，如果kr是根节点，我们有如下公式：

e[i,j]=pr+((e[i,r−1]+w[i,r−1])+(e[r+1,j]+w[r+1,j]))

注意：

w[i,j]=w[i,r−1]+pr+w[r+1,j]

因此e[i,j]可以重写为

e[i,j]=e[i,r−1]+w[i,j])+(e[r+1,j]

如果选取期望搜索代价最低者最为根节点，可以得出最终的递推公式：

e[i,j]={qi−1Min()e[i,r−1]+w[i,j])+(e[r+1,j]j=i-1j>=i,i<=r<=j

Step3:计算二叉搜索树的期望搜索代价：
伪代码算法：

OPTIMAL-BST(p[],q[],n){
let e[1,...n+1,0,...n] and root[1,...n,1,...n] and  w[1,...n+1,0,...n]
//e[1,0]表示只有伪关键字d0的代价,e[n+1,n]表示只有伪关键字dn的代价  
//在w[1,...n+1,0,...n]的下标含义一致

//初始化e[i, i - 1]和 w[i, i - 1]
for i ← 1 to n + 1
   do e[i, i - 1] ← qi-1
      w[i, i - 1] ← qi-1
for l ← 1 to n
   do for i ← 1 to n - l + 1
     do j ← i + l - 1
       e[i, j] ← ∞
       w[i, j] ← w[i, j - 1] + pj + qj
       for r ← i to j
         do t ← e[i, r - 1] + e[r + 1, j] + w[i, j]
           if t < e[i, j]
             then e[i, j] ← t
               root[i, j] ← r
  return e and root
}

算法分析，在每一次的计算t←e[i,r−1]+e[r+1,j]+w[i,j]中,随着层数的增加，w[i,j]是重复计数的而且和深度有关。

Step4:构建最优解输出：
算法设计：

CONSTRUCTOR-OPTIMAL-BST(root[][],i,j,r){
    int rootChild = root[i][j];//子树根节点  
    if (rootChild == root[1][n])  
    {  
        //输出整棵树的根  
        print("K"+rootChild+"是根");      
        CONSTRUCTOR-OPTIMAL-BST(root,i,rootChild - 1,rootChild);  
        CONSTRUCTOR-OPTIMAL-BST(root,rootChild + 1,j,rootChild);  
        return;  
    }  
    if (j < i - 1)  
    {  
        return;  
    }  
    else if (j == i - 1)//遇到虚拟键  
    {  
        if (j < r)  
        {  
           print( "d" +  j + "是" + "k" + r + "的左孩子" );  
        }  
        else {
            print( "d" +  j + "是" + "k" + r + "的右孩子" );  
        } 
        return;  
    }  
    else//遇到内部结点  
    {  
        if (rootChild < r)  
        {  
            print ("k" + rootChild + "是" + "k" + r + "的左孩子" );  
        }  
        else{
            print ("k" + rootChild + "是" + "k" + r + "的右孩子" );  
        }  

    }  

    CONSTRUCTOR-OPTIMAL-BST(root[],i,rootChild - 1,rootChild);  
    CONSTRUCTOR-OPTIMAL-BST(root[],rootChild + 1,j,rootChild);  
}

4. 最优二叉搜索树Java实现模拟

算法Java实现源码：

package lbz.ch15.dp.ins4;
/** 
 * @author LbZhang
 * @version 创建时间：2016年3月10日 下午10:04:32 
 * @description 测试最优二叉搜索树
 */
public class TestMain {

    public static void main(String[] args) {
        double[] p={0,0.15,0.1,0.05,0.1,0.2};  //n=5关键字有5个
        double[] q={0.05,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1};  //叶子结点有n+1 = 6个
        ///这里的关键字长度为5
        int n = p.length;

        System.out.println("输出根节点辅助表");
        int[][] root = Optimal_BST(p,q,n-1);
        int temp = root.length-1;
        for(int i=1;i<temp;i++){
            for(int j=1;j<temp;j++){
                System.out.print(root[i][j]+"-");
            }
            System.out.println();
        }

        printOptimalBST(root,1,5,root[1][5]);  
    }

    /**
     * DP在计算最优二叉树的辅助表的算法实现
     * @param p
     * @param q
     * @param n
     * @return
     */
    private static int[][] Optimal_BST(double[] p, double[] q, int n) {
        double[][] e = new double[n+2][n+2];//
        double[][] w = new double[n+2][n+2];
        int[][] root = new int[n+2][n+2];

        //初始化叶子结点的值
        for(int i=1;i<=n+1;i++){
            e[i][i-1]=q[i-1];
            w[i][i-1]=q[i-1];
        }
        for(int l=1 ; l<=n ; l++){///最外层循环是逐渐的将关键字个数从一个扩展到n个
            for(int i=1;i<=n-l+1;i++){
                int j=i+l-1;
                e[i][j]=Double.MAX_VALUE;
                w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j];
                for(int r=i;r<=j;r++){
                    double t = e[i][r-1]+e[r+1][j]+w[i][j];
                    if(t<e[i][j]){
                        e[i][j]=t;
                        root[i][j]=r;///存储根节点的位置
                    }
                }
            }



        }

        System.out.println("输出当前的最小代价："+e[1][n]);
        return root;

    }

    /**
     * 构建最优二叉搜索树
     * @param root
     * @param i
     * @param j
     * @param k
     */
    private static void printOptimalBST(int[][] root, int i, int j, int r) {
        int rootChild = root[i][j];
        if(rootChild==r){
            System.out.println("K"+rootChild+"是根");
            printOptimalBST(root,i,rootChild - 1,rootChild);  
            printOptimalBST(root,rootChild + 1,j,rootChild);  
            return;  
        }
        if (j < i - 1)  
        {  
            return;  
        }  
        else if (j == i - 1)//遇到虚拟键  
        {  
            if (j < r)  
            {  
                System.out.println( "d" +  j + "是" + "k" + r + "的左孩子" );  
            }  
            else {//j>=r
                System.out.println( "d" +  j + "是" + "k" + r + "的右孩子" );  
            } 
            return;  
        }  
        else//遇到内部结点  
        {  
            if (rootChild < r)  
            {  
                System.out.println ("k" + rootChild + "是" + "k" + r + "的左孩子" );  
            }  
            else{
                System.out.println ("k" + rootChild + "是" + "k" + r + "的右孩子" );  
            }  

        }  

        printOptimalBST(root,i,rootChild - 1,rootChild);  
        printOptimalBST(root,rootChild + 1,j,rootChild);  

    }




}