[AHOI2004]数字迷阵

嘟嘟嘟

应该算一道结论题吧。

首先很明显的一点，就是对于a_i,j，我们只用求出a_i,1就行了，剩下的就是斐波那契和矩阵快速幂的事。

至于如何求a_i,1，用两种方法，但是哪一个我都不懂为啥，网上也没有解释。

F1：斐波那契最小拆分。对于 i，拆分 i - 1：每一次选择小于i - 1且最大的斐波那契数相减，然后用二进制表示每一个斐波那契数取没取到。于是的到一个01序列，然后再后面再加一个01，对应到新的取数序列，代入斐波那契，就得到了a_i,1。

举个例子：i = 5，于是拆分4：4 = 3 + 1，则序列为101，加上01：10101，对应到斐波那契序列为1 + 3 + 8 = 12，就是a_i,1。

F2：解法就更迷了：把a_i,1序列输到OEIS上，直接得到了这么个公式：a_i,1 = i * (1 + √5) / 2 + i - 1。代入求值……

知道了a_i,1和a_i,2，剩下的就是矩阵快速幂水过了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define rg register
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
//const int maxn = ;
inline ll read()
{
    ll ans = 0;
    char ch = getchar(), last = ' ';
    while(!isdigit(ch)) {last = ch; ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)) {ans = ans * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    if(last == '-') ans = -ans;
    return ans;
}
inline void write(ll x)
{
    if(x < 0) x = -x, putchar('-');
    if(x >= 10) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}

ll n, m, mod;
ll c[3];
const int ha[] = {0, 3, 2, 3, 3, 2};

const int N = 2;
struct Mat
{
    ll a[N][N];
    Mat operator * (const Mat& oth)const
    {
        Mat ret; Mem(ret.a, 0);
        for(int i = 0; i < N; ++i)
            for(int j = 0; j < N; ++j)
                for(int k = 0; k < N; ++k)
                    ret.a[i][j] += a[i][k] * oth.a[k][j], ret.a[i][j] %= mod;
        return ret;
    }
}f;

void init()
{
    Mem(f.a, 0);
    f.a[0][0] = f.a[0][1] = f.a[1][0] = 1;
}

Mat quickpow(Mat A, ll b)
{
    Mat ret; Mem(ret.a, 0);
    ret.a[0][0] = ret.a[1][1] = 1;
    for(; b; b >>= 1, A = A * A)
        if(b & 1) ret = ret * A;
    return ret;
}

int main()
{
    n = read(); m = read(); mod = read();
        c[1] = ((ll)(n * (1 + sqrt(5))) / 2 + n - 1) % mod;
    c[2] = ((c[1] * 2 - n + 1) % mod + mod) % mod;
    init();
    if(m < 3) {write(c[m]), enter; return 0;}
    m -= 2;
    Mat A = quickpow(f, m);
    ll ans = A.a[0][0] * c[2] % mod + A.a[0][1] * c[1] % mod;
    write(ans % mod), enter;
    return 0;
}