休息

【问题描述】
休息的时候，可以放松放松浑身的肌肉，打扫打扫卫生，感觉很舒服。在某一天，某LMZ 开始整理他那书架。已知他的书有n 本，从左到右按顺序排列。他想把书从矮到高排好序，而每一本书都有一个独一无二的高度Hi。他排序的方法是：每一次将所有的书划分为尽量少的连续部分，使得每一部分的书的高度都是单调下降，然后将其中所有不少于2 本书的区间全部翻转。重复执行以上操作，最后使得书的高度全部单调上升。可是毕竟是休息时间，LMZ 不想花太多时间在给书排序这种事上面。因此他划分并翻转完第一次书之后，他想计算，他一共执行了多少次翻转操作才能把所有的书排好序。LMZ 惊奇地发现，第一次排序之前，他第一次划分出来的所有区间的长度都是偶数。

【输入格式】rest.in
第一行一个正整数n, 为书的总数。
接下来n 行，每行仅一个正整数Hi，为第i 本书的高度。

【输出格式】rest.out
仅一个整数，为LMZ 需要做的翻转操作的次数。
样例输入　　
6
5 3 2 1 6 4

样例输出
3

【样例解释】
第一次划分之后，翻转(5,3,2,1)，（6,4）。之后，书的高度为1 2 3 5 4 6，
然后便是翻转（5,4）即可。

【数据范围与约定】
对于10%的数据：n<=50
对于40%的数据：n<=3000
对于100%的数据：1<=n<=100000, 1<=Hi<=n

 

首先题中说了第一次找到的序列长度都是偶数，这说明什么呢？那就是第一次调换后，下一次找到的递减区间一定是位于第一次的两个区间之间，且长度一定是2，因为别的地方经过调换后是递增的。举个列子例子：6 3 5 4 2 1，则(6, 3), (5,4,2,1)，调换后就是3,6,1,2,4,5,，那么下一个区间要么是(6,1)，要么不存在（排好序了）。

接下来怎么做呢？

因为只有长度为2的递减区间才去交换，所以就说明了只有相邻的逆袭对才去交换，那也就是说这道题就是让你求逆序对个数。

逆序对这里用树状数组存。

#include<cstdio>
#include<iostream> 
#include<cstring> 
#include<cmath>
#include<algorithm> 
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 5;
int a[maxn], n;
ll ans = 0;
void Swap(int L, int R)
{
    while(L < R)
    {
        swap(a[L], a[R]);
        L++; R--;
    }
}
void init()            //手动模拟第一次翻转 
{
    int Sta = 1, End = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if(i < n && a[i + 1] < a[i]) End++;
        else 
        {
            if(Sta < End) {Swap(Sta, End); ans++;} 
            Sta = End = i + 1; 
        }
    }
}
int c[maxn];
int lowbit(int x)        //树状数组板子 
{
    return x & -x;
}
void add(int x, int d)
{
    int pos = x;
    while(pos <= n)
    {
        c[pos] += d;
        pos += lowbit(pos);
    }
}
int query(int x)
{
    int pos = x, ret = 0;
    while(pos > 0)
    {
        ret += c[pos];
        pos -= lowbit(pos);
    }
    return ret;
}
int main()
{
    freopen("rest.in", "r", stdin);
    freopen("rest.out", "w", stdout);
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    init();
    for(int i = n; i > 0; --i)
    {
        ans += query(a[i]);
        add(a[i], 1);
    }
    printf("%lld
", ans);
    return 0;
}

这里我要说一下第一次手动模拟的交换的复杂度，刚开始我一直以为是O(n ^ 2)，然后觉得可定能超时。结果竟A了。然后经过谨慎的思考，发现就是O(n)的。

为什么呢？首先对于外层的循环，保证sta,end一定不会相交，所以外层就是O(n)的。而内层的交换操作，是在每一次sta,end区间内进行(end - sta + 2) / 2次。因为这个区间两两不相交，所以这个交换的复杂度不受外层循环的影响，O(n / 2)，即O(n)。综上，复杂度为O(n)。