传送门
这题要用到的是矩阵-树定理。
对于有边权的图，其所有生成树边权积的和等于基尔霍夫矩阵的任意余子式(M(i,i))的行列式。
其中，基尔霍夫矩阵(C=D-A).(D)为发出边权和矩阵，对于任意(u eq v)，有(D(u,v) = 0).(A)是邻接矩阵。
总而言之，矩阵-树定理能求出的是(sumlimits_{T} prodlimits_{e in T} p_e).
回头看这道题，这道题让我们求的是(sumlimits_{T} [prodlimits_{e in T} p_e prodlimits_{e
otin T}(1-p_e)]).
所以我们对上式变形，化成能求的形式：
[egin{align*}
sumlimits_{T} [prodlimits_{e in T} p_e prodlimits_{e
otin T}(1-p_e)]
&= sumlimits_{T} [prodlimits_{e in T} p_e frac{prodlimits_{e in E} (1-p_e)}{prodlimits_{e in T} (1-p_e)}]\
&= prodlimits_{e in E} (1-p_e) * sumlimits_{T} prodlimits_{e in T} frac{p_e}{1-p_e}
end{align*}]
因此我们将每一条边的边权改成(frac{p}{1-p})，再构造基尔霍夫矩阵求解余子式的行列式就行了。
但是如果(p=1)或(0)怎么办？
这个我想了好一会儿都没出来，只能看题解了：因为题目说精度在(10^{-4})就算对，所以对于上述情况，我们可以令(p=1-eps)和(eps)就行的通了！这个着实妙。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define In inline
typedef double db;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 55;
int n;
db p[maxn][maxn];
In db Gauss(db f[][maxn], int n)
{
db ret = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
int pos = i;
for(int j = i + 1; j <= n; ++j)
if(fabs(f[j][i]) > fabs(f[pos][i])) pos = j;
if(pos != i) swap(f[pos], f[i]), ret = -ret;
if(fabs(f[i][i]) < eps) return 0;
for(int j = i + 1; j <= n; ++j)
{
db tp = f[j][i] / f[i][i];
for(int k = i; k <= n; ++k) f[j][k] -= tp * f[i][k];
}
ret *= f[i][i];
}
return ret;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j) scanf("%lf", &p[i][j]);
db sum = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j)
{
if(i == j) continue;
if(1 - p[i][j] < eps) p[i][j] = 1 - eps;
else if(p[i][j] < eps) p[i][j] = eps;
if(j > i) sum *= (1 - p[i][j]);
p[i][j] = -p[i][j] / (1 - p[i][j]);
}
for(int i = 1; i <= n; ++i)
for(int j = 1; j <= n; ++j) if(i ^ j) p[i][i] -= p[i][j];
printf("%.9lf
", sum * Gauss(p, n - 1));
return 0;
}