yy的gcd
题意
给定 (N) , (M) , 求 (1 leq x leq N) , (1 leq y leq M) 且 (gcd(x, y)) 为质数的 ((x, y)) 有多少对
解法
我是参照 这位爷 写出来的。
我们设：
(f(p) = sum _{x=1} ^{n} sum _{y=1} ^{m} [ gcd(x,y) == p ])
(F(d)) 表示 (d|gcd(x,y)) 且 (1 leq x leq N) ， (1 leq y leq M) 的 ((x,y)) 对数。
容易知道：
(F(d) = [ frac{n}{d} ] [ frac{m}{d} ]) 且 (F(n) = sum _{n|p} f(p))
由莫比乌斯反演有：
$f(n) = sum _{n|d} mu( frac {d}{n} )F(d) (
所以答案为：
)ans = sum _{p} sum _{p|d} mu( frac {d}{p} )[ frac{n}{d} ] [ frac{m}{d} ]$
我们枚举 $ frac {d}{p}$ 则有：
(ans = sum _{p} sum _{d=1} ^{min([frac {n}{d}],[frac {m}{d}])} mu( d )[ frac{n}{dp} ] [ frac{m}{dp} ])
令 (dp = T) 有：
(ans = sum _{T=1} ^{min(n,m)} [ frac{n}{T} ] [ frac{m}{T} ] ( sum _{t|T} mu( [frac{T}{t}] ) ))
然后就完了。
代码如下：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#define INF 2139062143
#define MAX 0x7ffffffffffffff
#define del(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Rint register int
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
x=0;T k=1;char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')k=-1;c=getchar();}
while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}x*=k;
}
const int maxn=10000000+10;
int mo[maxn];
bool nop[maxn];
int p[maxn];
ll sum[maxn];
int g[maxn];
void get_mo(int n){
mo[1]=1;
nop[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!nop[i]) {
p[++p[0]]=i;
mo[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
nop[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0) break;
mo[i*p[j]]=-mo[i];
}
}
for(int j=1;j<=p[0];j++)
for(int i=1;i*p[j]<=n;i++) g[i*p[j]]+=mo[i];
for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+1ll*g[i];
}
int main()
{
get_mo(10000000);
int t;
read(t);
while(t--){
ll n,m,limit;
ll ans=0;
read(n),read(m);
limit=min(n,m);
for(int l=1,r;l<=limit;l=r+1){
r=min( n/(n/l) , m/(m/l) );
ans += (n/l) * (m/l) * (sum[r]-sum[l-1]);
}
printf("%lld
",ans);
}
return 0;
}