【基本数据结构之'图'】

基本定义：

在一个社交网络中，每个帐号和他们之间的关系构成了一张巨大的网络，就像下面这张图：

图（graph）是用线连接在一起的顶点或节点的集合，即两个要素：边和顶点。每一条边连接个两个顶点，用（i，j）表示顶点为 i 和 j 的边。

​ 如果用图示来表示一个图，一般用圆圈表示顶点，线段表示边。有方向的边称为有向边，对应的图成为有向图，没有方向的边称为无向边，对应的图叫无向图。对于无向图，边（i， j）和（j，i）是一样的，称顶点 i 和 j 是邻接的，边（i，j）关联于顶点 i 和 j ；对于有向图，边（i，j）表示由顶点 i 指向顶点 j 的边，即称顶点 i 邻接至顶点 j ，顶点 i 邻接于顶点 j ，边（i，j）关联至顶点 j 而关联于顶点 i 。

​ 对于很多的实际问题，不同顶点之间的边的权值（长度、重量、成本、价值等实际意义）是不一样的，所以这样的图被称为加权图，反之边没有权值的图称为无权图。所以，图分为四种：加权有向图，加权无向图，无权有向图，无权无向图。

怎么理解有向边和无向边呢？
就拿我们社交软件中的“好友”功能为例。假设有A和B两个用户。
如果只是A关注了B，而B没有关注A，即这是一种单向的关系：只能从A到B，不能从B到A，我们就将这种关系（这条边）称为有向边。
如果A关注了B，B也关注了A，即这是一种双向的关系：可以从A到B，也可以从B到A，我们就把这种关系（这条边）称为无向边。其实，无向边也可以理解为两条有向边，但是在加权的情况下它们的权值是相同的。

相关概念：

在一个无向图中，与一个顶点相关联的边数成为该顶点的度。而对于有向图，则用入度来表示关联至该顶点的边数，出度来表示关联于该顶点的边数。

​ 一个具有n个顶点和n(n-1)/2条边的无向图称为一个完全图，即每个顶点的度等于总顶点数减1。

重要性质：

在无向图或有向图中，顶点的度数总和为边数的两倍，即：

而在有向图中，有一个很明显的性质就是，入度等于出度。

代码实现

下面主要讲解如何用邻接矩阵(二维数组)存图的代码部分。
0.首先定义一个二维数组G
1.初始化
memset(G,0,sizeof(G));
2.插入边
如果是从u到v的无向边：G[u][v]=1,G[v][u]=1;
如果是从u到v的有向边：G[u][v]=1;
3.访问边
如果G[u][v]==1，那么有就有条从u到v的边，否则没有。
4.加权图存法
直接把G数组开成int类型，然后把上面的1改成对应权值即可。
*5.邻接表存图：
邻接表的思想是，对于图中的每一个顶点，用一个数组来记录这个点和哪些点相连。由于相邻的点会动态的添加，所以对于每个点，我们需要用 vector 来记录。也就是对于每个点，我们都用一个 vector 来记录这个点和哪些点相连。比如对于一张有10个点的图,只要用vector< int > G[10+1] 就可以用来记录这张图了。对于一条从 a 到 b 的有向边，我们通过 G[a].push_back(b) 就可以把这条边添加进去
p.s.如果是无向边，则需要在 G[a].push_back(b)的同时G[b].push_back(a)。
效果如下图：

邻接矩阵和邻接表对比

用邻接表存图有两个优点。

1. 节省空间：当图的顶点数很多、但是边的数量很少时，如果用邻接矩阵，我们就需要开一个很大的
   二维数组，最后我们需要存储 个数。但是用邻接表，最后我们存储的数据量只是边数的两倍。
2. 可以记录重复边：如果两个点之间有多条边，用邻接矩阵只能记录一条，但是用邻接表就能记录多条。虽然重复的边看起来是多余的，但在很多时候对解题来说是必要的。
   当然，有优点就有缺点，用邻接表存图的最大缺点就是随机访问效率低。比如，我们需要询问点a是否和点b相连，我们就要遍历 G[a]检查这个 vector 里是否有b。而在邻接矩阵中，只需要根据 G[a][b] 就能判断。
   因此，我们需要对不同的应用情景选择不同的存图方法。如果是稀疏图（顶点很多、边很少），一般用邻接表；如果是稠密图（顶点很少、边很多），一般用邻接矩阵。
   今天先讲到这里，以后会继续更新~
   ov.