happiness[国家集训队2011(吴确)]

【试题来源】

2011中国国家集训队命题答辩

【问题描述】

高一一班的座位表是个n*m的矩阵，经过一个学期的相处，每个同学和前后左右相邻的同学互相成为了好朋友。这学期要分文理科了，每个同学对于选择文科与理科有着自己的喜悦值，而一对好朋友如果能同时选文科或者理科，那么他们又将收获一些喜悦值。作为计算机竞赛教练的scp大老板，想知道如何分配可以使得全班的喜悦值总和最大。

【输入格式】

第一行两个正整数n，m。
接下来是六个矩阵
第一个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择文科获得的喜悦值。
第二个矩阵为n行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学选择理科获得的喜悦值。
第三个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。
第四个矩阵为n-1行m列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i+1行第j列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。
第五个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择文科获得的额外喜悦值。
第六个矩阵为n行m-1列 此矩阵的第i行第j列的数字表示座位在第i行第j列的同学与第i行第j+1列的同学同时选择理科获得的额外喜悦值。

【输出格式】

输出一个整数，表示喜悦值总和的最大值

【样例输入】

1 2
1 1
100 110
1
1000

【样例输出】

1210

【样例说明】

两人都选理，则获得100+110+1000的喜悦值。

【数据规模和约定】

对于10%以内的数据，n,m<=4
对于30%以内的数据，n,m<=8
对于100%以内的数据，n,m<=100 数据保证答案在2^30以内
对于100%的数据，时间限制为0.5s。

 

【题解】

    这道题的难点在于确定边权。最小割问题，割去的就是我们失去的部分；两点之间有关系，总是通过建边来实现的。对于这道题来说，每种情况我们都失去了什么？以源点代表文科，汇点代表理科。都选一科(三角环)，失去了共同选另一科和分别选另一科的喜悦值。分别选两科(二字形)，失去了两个共同喜悦值和两个单独选另一科的喜悦值。(可以证明可能出现的情况只有这两种，否则都不会是最小割)相同位置的边权构成一定相同，因此用数学方法推出每个人到源点或汇点的边权为个人喜悦值+1/2共同喜悦值，两点之间边权为1/2都选文+1/2都选理。注意共同边要双向建边，因为两点之间是完全等效的；每个人向源点和汇点的边应该在边权全部处理完之后再统一添加。

    可以发现边权会出现实型，结果却一定是整型。对于这种情况，可以把边权全部*2，最后结果再/2来避免double的麻烦。dfs函数中有一个语句：if(!f) break;原先从来没打过，这道题不加这个却会超时，加了之后直接上榜，确实是一个非常有理有据的优化。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int sj=105;
int n,m,sx[sj][sj],e,h[sj*sj],s,t,dep[sj*sj];
int w[sj][sj],l[sj][sj],g[sj][sj],z[sj][sj],a1,ans;
struct B
{
    int ne,v,w;
}b[sj*sj*10];
queue<int> q;
void add(int x,int y,int z)
{
     b[e].v=y;
     b[e].w=z;
     b[e].ne=h[x];
     h[x]=e++;
}
void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    t=n*m+1;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
        scanf("%d",&w[i][j]);
        sx[i][j]=(i-1)*m+j;
        ans+=w[i][j];
        w[i][j]*=2;
      }
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
        scanf("%d",&l[i][j]);
        ans+=l[i][j];
        l[i][j]*=2;
      }
    for(int i=1;i<n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
        scanf("%d",&a1);
        ans+=a1;
        g[i][j]=a1;
        w[i][j]+=a1;
        w[i+1][j]+=a1;
      }
    for(int i=1;i<n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
        scanf("%d",&a1);
        ans+=a1;
        g[i][j]+=a1;
        l[i][j]+=a1;
        l[i+1][j]+=a1;
        add(sx[i][j],sx[i+1][j],g[i][j]);
        add(sx[i+1][j],sx[i][j],g[i][j]);
      }
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<m;j++)
      {
        scanf("%d",&a1);
        ans+=a1;
        z[i][j]=a1;
        w[i][j]+=a1;
        w[i][j+1]+=a1;
        add(s,sx[i][j],w[i][j]);
        add(sx[i][j],s,0);
      }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      add(s,sx[i][m],w[i][m]);
      add(sx[i][m],s,0);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<m;j++)
      {
        scanf("%d",&a1);
        ans+=a1;
        z[i][j]+=a1;
        l[i][j]+=a1;
        l[i][j+1]+=a1;
        add(t,sx[i][j],0);
        add(sx[i][j],t,l[i][j]);
        add(sx[i][j],sx[i][j+1],z[i][j]);
        add(sx[i][j+1],sx[i][j],z[i][j]);
      }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
      add(sx[i][m],t,l[i][m]);
      add(t,sx[i][m],0);
    }
    ans*=2;
}
bool bfs(int x)
{
    while(!q.empty()) q.pop();
    memset(dep,0,sizeof(dep));
    dep[x]=1;
    q.push(x);
    while(!q.empty())
    {
       x=q.front();
       q.pop();
       for(int i=h[x];i!=-1;i=b[i].ne)
         if(!dep[b[i].v]&&b[i].w)
         {
            dep[b[i].v]=dep[x]+1;
            if(b[i].v==t) return 1;
            q.push(b[i].v);
         }
    }
    return 0;
}
int bj(int x,int y)
{
     return x<y?x:y;
}
int dfs(int x,int f)
{
     if(x==t) return f;
     int ans=0,d;
     for(int i=h[x];i!=-1;i=b[i].ne)
       if(dep[b[i].v]==dep[x]+1&&b[i].w)
       {
          d=dfs(b[i].v,bj(f,b[i].w));
          f-=d;
          ans+=d;
          b[i].w-=d;
          b[i^1].w+=d;
          if(!f) break;
       }
     if(!ans) dep[x]=-1;
     return ans;
}
int main()
{
    init();
    while(bfs(s))  ans-=dfs(s,0x7fffffff);
    printf("%d",ans/2);
    return 0;
}