• 杜教筛详解+入门题


    首先看看大佬的博客

    下面是推理过程,然而我们只需要记结论(h,g,f 都是假定的函数,S是f的前缀和函数):

    例题1:N=1e10 ,求下式

    思路:S(i)是f的前缀和,我们想找到一个g使得h的前缀和好求(h=f*g)。

    先将h的式子写出来:

    再把f套成u,我们会发现,前面那一部分是可以套莫比乌斯的性质的:

    那么把g带成1函数,f*g就等于元函数,而元函数的前缀和不就是1吗?

                     

    然后我们就可以快乐地将化简后的h带入S(n)(也是要求的M(n))那个式子中:

    最后复杂度是N的2/3次方(我也不知道为啥

    明显对于后半部分可以用整除分块来求,注意代码实现:(sum是f函数的前缀和)

    int dfs(ll x)
    {
        if(x<=N-5) return sum[x];
        if(mp[x]) return mp[x];//用map来记录是否已经计算过 
        ll ans=1;
        for(ll l=2,r;l>=0&&l<=x;l=r+1){//循环从2开始 
            r=x/(x/l);//*(r-l+1)是因为这个数重复了这么多次 
            ll xx=*(r-l+1)*dfs(x/l);
            ans=(ans-xx+mod)%mod;//注意要防止ans加成负数!! +mod %mod 
        }
        return mp[x]=ans;
    }

    例题2:N=1e10,求:

    和上面一样,我们先写出h(n):   ,再把f当做:代入。

    然后我们惊奇地发现,前面一部分不是可以用欧拉函数的性质替换吗?

    现在只剩下了 d*g( n/d ),那g取什么呢?明显取id函数又可以快乐地把d抵消掉了! 最后h(n)=n^2。  (id函数:单位函数,id(n)=n)

    ans的初始值是什么呢?前x的平方和式子是:n*(n+1)*(2n+1)/6。代码实现就仿照刚刚那个啦。

    例题3:N=1e10,求

    和上面的一样,自己动手推一下

    好了经过一番推理之后,g也是同上题一样,也是取id函数的,下面是代码:

    int dfs(ll x)
    {
        if(x<=N-5) return sum[x];
        if(mp[x]) return mp[x];
        ll ans=1;
        for(ll l=2,r;l>=0&&l<=x;l=r+1){
            r=x/(x/l);//*(r-l+1)是因为这个数重复了这么多次 
            ll xx=(l+r) %mod *inv2 %mod *(r-l+1) %mod *dfs(x/l) %mod;//注意要对2求逆元 
            //L+r/2是因为原式里面有i 所以跳过一个区间时要加上这个区间和 :(l+r)/2首项加末项除以二 
            ans=(ans-xx+mod)%mod;
        }
        return mp[x]=ans;
    }

    然后是一个式子化简的小技巧:

    最后说说N的范围,N太小了会T,太大了也可能会T,最好取600万

    可以写写的题:洛谷P4213,P3768

    完结啦~~

     

  • 相关阅读:
    Mac 升级后 Git报错处理
    iOS 进制转换(十进制转62进制)
    转:基于IOS上MDM技术相关资料整理及汇总
    NPM ERR! 403 403 Forbidden 问题处理
    Rxjs学习,结合angular(搁置,后续还会添加)
    如何快速关联/修改Git远程仓库地址
    VUE 路由守卫 next() / next({ ...to, replace: true }) / next(‘/‘) 说明
    chrome developer tools 的一個 bug
    IBM MQ 2035错误
    tp5 gateway 报错 stream_socket_client(): unable to connect to tcp://127.0.0.1:1236 (Connection refused)
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/mowanying/p/11273028.html
Copyright © 2020-2023  润新知