观察下面一个三维矩阵，这个矩阵对应的线性空间变换是绕向量（1，1，1）所在直线旋转90度，同时所有基向量长度都拉伸为原来两倍：
这个矩阵对应的线性空间变换相对简单，那么对于复杂一些的旋转矩阵，我们有没有办法求得它的旋转轴和拉伸倍数呢？
试想在旋转的过程中，旋转轴上的所有向量经过变换后一定还在旋转轴所在直线上，因此我们可以设旋转轴上有任一向量ζ，它经过三维矩阵A对应空间变换后拉伸了λ倍，因此有以下式子成立：
也就是说，向量ζ由于处在旋转轴上，它经过A矩阵对应变换得到的向量和直接伸缩λ倍（乘以λ）得到的向量是相同的。因此我们可以得到如下推导：
最后我们得到了一个齐次线性方程组，这个方程组有非零解则矩阵（A-λIn）对应行列式的值为0，据此可以解出λ，再将λ带回求解齐次线性方程组通解可得相应的ζ，这里解出的解是通解的原因是ζ只需要是旋转轴上的任意向量即可，理论上有无数条。
通过刚才求旋转轴的过程我们得到的λ和ζ分别称为矩阵A的特征值和特征向量，但是值得注意的是，特征向量所在的直线不一定是旋转轴，但当矩阵对应的线性变换中有旋转时，旋转轴一定是特征向量所在的直线，也就是说，所在直线是旋转轴的向量可以理解为一类特殊的特征向量。因此，刚才展示的求旋转轴的过程是有瑕疵的，求出来的特征值和特征向量可能不止一组，但是所有的旋转轴一定都在其中，所以求旋转轴时还需要对求得的特征向量一一甄别。