一.概述
我们知道,在一个标准的三维空间中,有三组基向量(1,0,0)\(0,1,0)和(0,0,1),这三组基向量都是由三个坐标组成.二维空间的两组基向量同样是由两个坐标组成.一维空间(直线)的一组基向量同样是由一个坐标组成.那么n维空间的n个基向量也应该是n个坐标组成.
那么有没有可能有这样一种情况:三个由三个坐标组成的向量,它们作为基向量并不能线性表示三维空间中的所有向量?显然是有可能的.如果三个向量在同一平面上,那么它们就只能线性表示和所在的这个平面平行的所有向量;同样的,如果三个向量共线,那么它们就只能线性表示和所在的直线平行的所有向量.
对于上面的情况,我们就可以用向量的线性空间的概念描述它.简单地说,三个三维向量,如果能线性表示三维空间中的所有向量,那么这三个向量张成的线性空间就是三维的.向量的线性空间就是这些向量能够线性表示的所有向量所在的空间维度.
二.矩阵的秩和线性空间
在三维空间中,如果有三个三维向量我们将其作为基向量并组成一个矩阵.如果这三个三维向量中任取一个向量它都不会和其他两个向量所在平面平行,那么这三个向量中任意一个向量就不能用其他两个向量线性表示,这时三个三维向量就可以表示整个三维空间中的所有向量,因此我们可以称这三个三维向量张成的空间是三维空间.
同样的,如果这三个三维向量在同一平面上,也就是有一个向量可以被其他两个向量线性表示,那么这三个向量就只能线性表示一个平面上的所有向量,因此我们称这三个三维向量张成的空间是二维空间.我们会发现对于一个二维空间,两个向量就可以线性表示了,或者说三个三维向量中有一个是多余的.这个多余的过程和记录二中的线性方程消元的过程是一致的.这种三个向量只有两个是有效向量的情况我们同样可以用矩阵的秩来描述,也就是说两个有效向量时向量组成的矩阵的秩为2.
自然,如果三个三维向量在同一直线上,那么任何一个向量都可以由另一个向量线性表示,这时这三个向量只能表示一维空间中的所有向量,它们张成的空间维度为1,只有一个有效向量,组成矩阵的秩为1(这些说法其实都是说的一件事).
三.总结
对于n维向量,它由n个坐标数字组成.要线性表示一个n维空间中的所有向量,需要n个n维向量,且任选其中一个向量,它都不在剩余的n-1个向量组成的空间中,这时我们就说这n个n维向量的线性空间是n,或者说这n个n维向量组成的矩阵的秩为n.如果n个n维向量中任意一个向量不在剩余n-1个向量的线性空间中,那么这个向量就不能被剩余n-1个向量线性表示,这个线性表示的过程和线性方程组消元出全0行的过程是一致的(只是一个是行变换一个是列变换),因此方阵对应的行列式值是否为0仍然对应矩阵是否满秩.
如果n个n维向量的线性空间为n,那么向里面再添加一个n维向量,它一定在这个n维空间中,也就可以由这n个n维向量线性表示,它就是无效的.也就是说,向量个数多于向量维度时一定有向量是无效的,或者说m个n维向量,当m>n时,组成矩阵的秩最大是n.
如果n个n维向量的线性空间为n,那么删去其中任何一个向量,剩余n-1个向量的线性空间就变成了n-1.比如有两个不共线的三维向量,无论如何,它们都只能线性表示所在平面内的所有向量,所以线性空间为2.也就是说m个n维向量,当m<n时,组成矩阵的秩最大是m.
矩阵的秩既可以说是对应线性方程组中有效的线性方程的个数,也可以说是组成矩阵的所有向量所能线性表示的所有向量组成的空间维度.对于一个方阵而言,如果其对应的行列式值为0,那么这个矩阵不满秩,反之满秩.