2019南京网络赛 D Robots 期望dp

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题意：给出一幅有向无环图，保证只有1入度为0，n出度为0，求问一个机器人从1出发，每天等概率的走到相邻点或者留在原地，问到达n点的代价。每天的代价都不一样，就是天数（第x天走一步的代价就是x）。

思路：设出度每个点的选择情况为$cnt[i]$，即出度加1.

　　由于每天的代价和天数有关，所以应该要想到，可以先算出天数的期望。这样就可以得到每个点的代价，再算总的代价期望。

　　把一道题拆成两题，简单求解。

　　$dp[u]=dp[u]*frac{1}{cnt[u]}+frac{1}{cnt[u]}* sum dp[v]+1$

　　移项可得 $dp[u]=frac{1}{cnt[u]-1}sum dp[v]+frac{k}{k-1}$

　　然后求f

　　$f[u]=frac{1}{cnt[u]}f[u]+frac{1}{cnt[u]}*sum f[v] +dp[u]$

　　$f[u]=frac{1}{cnt[u]-1}sum f[v]+frac{k}{k-1}*dp[u]$

　　然后按照拓扑序的逆序来dp。

#pragma GCC optimize (2)
#pragma G++ optimize (2)
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include<bits/stdc++.h>
#include<unordered_map>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define dep(i,b,a) for(int i=b;i>=a;--i)
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pii pair<int,int >
using namespace std;
typedef long long ll;
ll rd()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int maxn=400010;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
double dp[maxn],f[maxn];
double cnt[maxn];
int to[maxn],tot,dep[maxn];
vector<int >ve[maxn];
void topo(){
    queue<int >q;
    q.push(1);
    tot=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();
        q.pop();
        to[++tot]=u;
        for(auto &v:ve[u]){
            dep[v]--;
            if(dep[v]==0){
                q.push(v);
            }
        }
    }
}
int main(){
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        rep(i,1,n){
            cnt[i]=1;
            dp[i]=0;
            f[i]=0;
            dep[i]=0;
            ve[i].clear();
        }
        rep(i,1,m){
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            ve[u].push_back(v);
            cnt[u]++;
            dep[v]++;
        }
        topo();
        for(int i=tot-1;i>0;--i){
            int u=to[i];
            double k=cnt[u];
            dp[u]=k/(k-1);
            for(auto &v:ve[u]){
                dp[u]+=(dp[v])/(k-1);
            }
        }
        for(int i=tot-1;i>0;--i){
            int u=to[i];
            double k=cnt[u];
            f[u]=k/(k-1)*dp[u];
            for(auto &v:ve[u]){
                f[u]+=(f[v])/(k-1);
            }
        }
        printf("%.2f
",f[1]);
    }
}