• 读书笔记-排序

    【选择排序】

    a[i++] —> a[n]，从前往后看、选择最小值、一次交换到位

    1，完整循环找到数组中最小的元素；

    2，把这个最小的元素与a[0]交换；

    3，在a[i]-an的子数组中重复1-2步骤；

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    for(int i = 0; i < n; i++) {

    int min = i;

    for(int j = i + 1; j < n; j++) {

        if(a[j] < min) 

            min = j;

    }

    swap(i, j, a);
}

    简写：

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    for(int i =0; i < n; i++) {
    min = //本次循环的i...n中的最小的元素的index；

    //将min和本次循环的i两个元素交换；
}

    特点：

    选择排序的扫描路线：a[i++] —> a[n]

    选择排序是在每个大循环下，通过完整子循环找到最小值后，退出子循环再进行交换，而不是一找到小于关系就交换，每次交换后，左侧的有序数组的位置是最终的；

    运行时间和输入无关，扫描数组的次数是固定的，因为大循环和子循环的次数是固定的，前一次扫描并不为下一次扫描提供信息；

    交换次数最少，因为是子循环完全结束后才进行一次交换，每次交换的结果都是最后的排序子结果，元素不用做二次挪动；

    选择排序是一截一截往后看，将子数组中的最小元素交换到最前头的位置；

    选择排序没有最好情况和最坏情况，扫描的次数是固定的，交换的次数已经是所有排序算法中最少的了；

    【插入排序】

    a[j—] —> a[0]，从半路往前看、让元素尝试往前走不动为止

    插入排序是一截一截往前看，将倒置的元素交换；对于一个元素，总是尝试往前走，走到不能走为止，因为前面的元素已然有序了，所以走不动的时候左侧元素也是刚刚重新有序；总是相邻元素交换，所以交换次数频繁，一次交换的位置未必是最终位置；

    插入排序的扫描路线：a[j—] —> a[0]

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    for(int i = 1; i < n; i++) {

    for(int j = i; j > 0 && a[j] < a[j-1]; j--) 

        swap(j, j -1, a);
}

    每次子循环的结果，左侧的元素肯定是在已知（已经扫描）的数组中有序的，所以每次子循环发生的条件是，如果a[j]小于a[j-1]，则交换，然后继续进行j—之后的扫描；但如果a[j]不小于a[j-1]，因为左侧在已知数组中是有序的，这个时候该子循环就不会发生了；

    对已然有序的数组排序，插入排序是线性扫描，0次交换；

    插入排序就是解决倒置的两个元素，交换的次数就是倒置的元素个数；

    插入排序和选择排序都是平方级的运行时间，但插入排序通常比选择排序快一个常数，因为对于随机的数组来说，插入排序扫描的次数会由于数组中的部分有序而减少，但选择排序不会，必须全扫描；交换，则是插入排序比选择排序次数要多，选择排序交换次数最多不超过n;

    【归并排序】

    先2分排序子数组，再归并成原数组

    原地归并算法：

    1，先将所有元素赋值到一个新的数组中，此时数组是两截有序的数组；

    2， 在原数组上讲新数组中的数本地归并回来：左边用尽取右边；右边用尽取左边；右边当前元素比左边小取右边；右边当前元素大于等于左边取左边；

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    void merge(Comparable[] a, int low, int mid, int hign) {

    int i = low, j = mid + 1;

    for(int k = low; k <= hign; k++) 

        aux[k] = a[k];

    for(int k = low; k <= hign; k++) 

        if(i > mid)                     a[k] = aux[j++];

        else if(j > hign)            a[k] = aux[i++];

        else if(aux[j] < aux[i])    a[k] = aux[j++);

        else                                  a[k] = aux[i++];
}

    自顶向下的归并排序：

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    sort(a, 0, a.length - 1);

void sort(Comparable[] a, int low, int hign) {

    if(hign < = low)        return;

    int mid = low + (hign - low) / 2;

    sort(a, low, mid);

    sort(a, mid + 1, hign);

    merge(a, low, mid, hign);
}

    归并算法的思路就是：两个单元素的数组是分别有序的，可以通过merge方法将其归并为一个2元素的有序数组，依此类推，两个a[low]到a[mid]和a[mid+1]到a[hign]的数组分别有序，可以通过merge方法将其归并为一个有序数组a[low]到a[hign]；

    归并自上而下，先分拆(sort)直至单元素数组，再归并(merge)回到原数组；

    归并算法的几个优化策略：

    1，对小规模数组改用插入排序，比如sort方法中发现hign - low <= 10，则用插入排序；

    2， 测试数组是否已经有序，就是看a[mid]如果小于等于a[mid+1]，就不用归并了；

    归并排序的时间总是NlogN；

    跟普通排序不需要额外空间不一样，归并排序是需要额外空间的，跟N成正比；

    归并排序是某种程度上的空间换时间算法；

    自底向上的归并：

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    void sort(Comparable[] a) {

    aux = new Comparable[a.length];

    for(int sz = 1; sz < a.length; sz = sz + sz) 

        for(int low = 0; low < N - sz; low += sz + sz) 

            merge(a, low, low + sz - 1, Math.min(low + sz + sz - 1, N -1);
}

    自顶向下是 化整为零，自底向上是循序渐进；

    归并排序用了aux辅助数组，是空间复杂度不是最优的；

    任何比较排序算法的复杂度都不会低于lg(N!)~NlgN；

    【快速排序】

    每一次切分都使数组左右两边趋于有序

    特点：

    1， 快速排序是原地排序，只需要一个很小的辅助栈；归并排序无法做到；

    2， 复杂度是NlgN；插入、选择等交换排序无法做到；

    3， 快速排序的原理：将一个数组分成两个子数组，将两部分独立地排序。

    快速排序和归并排序是互补的：

    1， 归并排序将数组分成两个子数组分别排序，并将有序的子数组归并以将整个数组排序；快速排序是当两个子数组都有序时整个数组也就自然有序了。

    2， 归并排序中，递归调用发生在处理整个数组之前；快速排序中，递归调用发生在处理整个数组之后；

    3， 归并排序是数组被等分为两半；快速排序中，切分的位置取决于数组的内容；

    算法：

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    void sort(Comparable[] a) {

    random(a) //随机打乱数组，为了比避免每次的切分元素总是子数组中的最小元素

    sort(a, 0, a.length - 1);

}

void sort(Comparable[] a, int low, int hign) {

    if(hign <= low)

        return;

    int j = partition(a, low, hign);

    sort(a, low, j -1);

    sort(a, j + 1, hign);
}

    递归调用切分实现排序的思路：

    如果左子数组和右子数组都是有序的，那么由左子数组（有序且所有元素都小于等于切分元素+切分元素+右子数组（有序且所有元素大于等于切分元素）组成的结果数组也一定是有序的；

    切分找j的条件

    1， 对于某个j，a[j]已经排定；

    2， a[low]到a[j - 1]中的所有元素都不大于a[j]；

    3， a[j+1]到a[hign]中的所有元素都不小于a[j]；

    注意，上面的2， 3说的都是j的左边和右边的元素分别不大于和不小于切分元素，但此时左右两边并不是有序的；

    切分算法：

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    int partition(Comparable[] a, int low, int hign) {

    int i = low, j = hign + 1;

    Comparable v = a[0];

    while(true) {

        while(a[++i]  < v)

            if(i == hign)

                    break;

        while(a[--j] > v)

            if(j == low)

                break;

        if(i >= j)

            break;

        swap(a, i, j);

    }

    swap(a, low, j);

    return j;
}

    两个小while分别做从左、从右往中间走的动作；

    从左边走遇见的比切分元素大的元素，跟从右边走遇见的比切分元素小的元素，交换之;

    因为一次大循环中用的都是a[lo]，同一个参考值，那么通过这样的交换，左侧都小，右侧都大;

    i, j相遇的最后一次交换，是a[j]被认为小小于切分元素，a[i]被认为大于切分元素，然后他们交换了位置，这一次是相邻交换，—j和—i使得i和j的索引也交换了，所以此时j就是上一次的i的位置，已经被小于切分元素a[lo]的上一次的a[j]给占用了；同时a[i]则是 大于a[lo]的元素；

    所以，最后swap(lo, j)，跟开始的切分元素=a[lo]相呼应；

    切分的轨迹是这样的 ：

    lo….i….j…hi

    lo….ij…….hi

    lo….ji…….hi

    j…..loi…….hi

    归并排序是从底往上一层层合并有有序子数组；

    快速排序是从上往下，循序渐进，一层层切分下去，每一次切分都使得数组呈两边大小合适状态，切到单元素数组的时候，整个数组基于n多个两边大小合适的小数组，而有序了；

    切分元素不一定要选择a[low]，随机选都行；

    打乱数组顺序的意义：random(a) //随机打乱数组，为了比避免每次的切分元素总是子数组中的最小元素。

    如果每次的切分元素总是最小的元素，那么每一次切分都只是分离成一个元素的数组和一个N-1长度的子数组，这使得数组会被切分N多次；

    对于小数组，切换到插入排序能提高效率；

    partition方法还可以用来找一个数组中【第k大的元素】：

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    int lo = 0, hi = a.length - 1;

while(hi > lo) {

    int j = partition(a, lo, hi);

    if(j == k)

        return a[k];

    if(j > k)

        hi = j - 1;

    if(j < k)

        lo = j + 1;

    return a[k];

    【堆排序】

    先使堆有序，再一个个删除最大值，删除即把第一个最大元素往尾部交换以推出堆

    上浮和下沉算法：

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    void swim(int k) {

    while(k > 1 && pq[k/2] < pq[k]) {

        swap(pq, k/2, k);

        k = k / 2;
}

void sink(int k) {

    while(2 * k <= N) {
        int j = 2 * k;

        if(j < N && pq[j] < pq[j+1]) //选取两个子节点中较大的一个往上交换

                j++;

        if(pq[k] >= pq[j])   //结束下沉，已经比字节点大了

                break;

        swap(pq, k, j); //下沉

        k = j;

}

public static void sort(Comparable[] a) {

    int N = a.length;

    //先使得堆有序

    for(int k = N/2; k >= 1; k--)  //从右到左扫，因为最终堆有序是右边总比左边小；

            sink(a, k, N);             //只扫描一半，因为一半之后的元素都是叶节点，就是为1的堆

    //再进行下沉排序，销毁堆有序

   while(N > 1) {      //把最大元素删除，然后放入堆缩小后数组中空出的位置
        swap(a, 1, N--); //a[1]就是最大元素，把其交换到最后一个，就是从堆有序堆中删除它

        sink(a, 1, N);  //被交换到a[1]的元素，通过在子堆中下沉，使得子堆再次有序

}                           //重复这个过程，最大元素总是往后一个一个走，最后整个数组就有序了

    堆排序的复杂度：N*lgN，而且是原地排序，无额外空间消耗；

    【SpaceToTime排序 空间换时间排序法】

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    int i = 0;

int max = array[0];

int len = array.length;

for(int i = 1; i < len; i++)  //找出最大值，做为空间数组的length

    if(array[i] > max)

        max = array[i];

int[] temp = new int[max + 1];

for(int i = 0; i < len; i++)

    temp[array[i]] = array[i];

int j = 0;

int max1 = max + 1;

for(i = 0; i < max1; i++) {

    if(temp[i] > 0]

        array[j++] = temp[i];
}

不计空间成本，把数组值映射到一个临时数组的下标，然后遍历临时数组，把大于0的数顺序放回原数组；

注：temp[i] = i;

array[i] > 0;

    【Java.util.Arrays.sort】

    对原始类型用三向切分的快速排序；

    对引用类型用归并排序；

    【Comparable Comparator】

    一个类实现了Comparable接口则表明这个类的对象之间是可以相互比较的，这个类对象组成的集合就可以直接使用sort方法排序。
    Comparator可以看成一种算法的实现，将算法和数据分离，Comparator也可以在下面两种环境下使用：
    1、类的设计师没有考虑到比较问题而没有实现Comparable，可以通过Comparator来实现排序而不必改变对象本身
    2、可以使用多种排序标准，比如升序、降序等

    多键排序，用Comparator；
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