[CF1467D] Sum of Paths

[CF1467D] Sum of Paths - dp

Description

给定一个长度为 (n) 个序列，第 i 个位置权值为 (a_i)，有 (k) 次移动，每次移动往左或者往右移动一格，不能出边界，对于这样一个连续移动 k 次后得到的长度为 k+1 的位置序列，我们称为好序列，它的权值是经过的每一个位置的 (a_i) 的和，多次经过需要累加。现在对所有起始位置，求所有好序列的权值和，有 q 次对序列权值的修改。答案对 (10^9+7) 取模。

Solution

设 (f[i][j]) 为到达点 j 走了 i 步的方案数，也是从 j 出发走了 i 步的合法序列数

转移为 (f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1])

那么第 i 步经过 j 的方案数就是 (f[i][j] cdot f[k-i][j])

设 (g[j]=sum_i f[i][j])，即每个点被经过的总次数，这个值是不会变的

然后动态维护一个答案即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    int n, k, q;
    cin >> n >> k >> q;

    vector<int> a(n + 2);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];

    const int mod = 1e9 + 7;

    vector<vector<int>> f(k + 2, vector<int>(n + 2));
    vector<int> g(n + 2);
    int ans = 0;

    for (int j = 1; j <= n; j++)
        f[0][j] = 1;
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j + 1],
            f[i][j] %= mod;
    for (int i = 0; i <= k; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            g[j] = (g[j] + f[i][j] * f[k - i][j]) % mod;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans = (ans + g[i] * a[i]) % mod;

    for (int t = 1; t <= q; t++)
    {
        int i, x;
        cin >> i >> x;
        ans -= g[i] * a[i];
        a[i] = x;
        ans += g[i] * a[i];
        ans %= mod;
        ans += mod;
        ans %= mod;
        cout << ans << endl;
    }
}