[CF1462E2] Close Tuples (hard version)

Description

给出一个由 (n) 个数字组成的数组。现在定义一种子集为 ({A_1, A_2, A_3, ..., A_m}) 使得这个子集中的最大值和最小值的差值不超过 (k)，其中 (m) 和 (k) 是给出的。现在问你这种子集有几个。

Solution

最初的想法是将每个数的重数统计出来，然后枚举最大的数以及最大数选多少个，剩下的用组合数计算。

更简单的方法是，直接排序，然后枚举最大数的位置，利用前缀和统计这个数前面有多少个不小于它 (-k) 的数，然后用组合数计算即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e6 + 5;

int fac[N], ifac[N];

int qpow(int p, int q)
{
    return (q & 1 ? p : 1) * (q ? qpow(p * p % mod, q / 2) : 1) % mod;
}

int inv(int p)
{
    return qpow(p, mod - 2);
}

void presolve()
{
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    ifac[N - 1] = inv(fac[N - 1]);
    for (int i = N - 2; i >= 0; i--)
        ifac[i] = ifac[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

int ncr(int n, int m)
{
    if (n < m)
        return 0;
    return fac[n] * ifac[m] % mod * ifac[n - m] % mod;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    int t;
    cin >> t;

    presolve();

    while (t--)
    {
        int n, m, k;
        cin >> n >> m >> k;

        vector<int> a(n + 2);
        vector<int> c(n + n + 2);

        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i], c[a[i]]++;

        for (int i = 1; i <= n; i++)
            c[i] += c[i - 1];

        sort(&a[1], &a[n + 1]);

        int ans = 0;

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            int cnt = i -1;
            if (a[i] - k - 1 > 0)
                cnt -= c[a[i] - k - 1];
            ans += ncr(cnt, m - 1);
            ans %= mod;
        }

        cout << ans << endl;
    }
}