[CF1284D] New Year and Conference

Description

给定 (n) 个区间对 (([s_a,e_a],[s_b,e_b]))，求是否存在一个子集，使得子集中所有区间对的 (first) 区间对中互不相交和 (second) 区间对中互不相交二者恰好有一个成立。

Solution

考虑到如果存在一个满足条件的子集，那么一定存在一个满足条件的二元子集，因此找子集转化为找两个区间对，满足前项相交和后项相交不同时成立。

考虑前项相交而后项不相交的情况。对前项区间用扫描线扫描，那么当前维护的就是前项相交的所有区间，如果这些区间的最大左端点大于最小右端点，那么显然我们找到了一个这样的区间。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 1000005;

struct Range
{
    int l, r;
};

struct Event
{
    int tim;
    int flag;
    Range range;
    bool operator<(const Event &b)
    {
        if(tim != b.tim) return tim < b.tim;
        else return flag < b.flag;
    }
};

int n;
vector<pair<Range, Range>> src;

bool solve()
{
    vector<Event> vec;
    for (auto i : src)
    {
        vec.push_back({i.first.l, 0, i.second});
        vec.push_back({i.first.r, 1, i.second});
    }
    sort(vec.begin(), vec.end());
    multiset<int> sl, sr;
    for (auto e : vec)
    {
        if (e.flag == 0)
        {
            sl.insert(e.range.l);
            sr.insert(e.range.r);
        }
        else
        {
            sl.erase(sl.find(e.range.l));
            sr.erase(sr.find(e.range.r));
        }
        if (sl.size() && *sl.rbegin() > *sr.begin())
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int t1, t2, t3, t4;
        cin >> t1 >> t2 >> t3 >> t4;
        src.push_back({{t1, t2}, {t3, t4}});
    }

    int ans = solve();
    for (auto &i : src)
    {
        swap(i.first, i.second);
    }
    ans &= solve();

    cout << (ans ? "YES" : "NO") << endl;
}