[CF1354E] Graph Coloring

Description

给定 (n) 个点的无向图和一个整数 (k le n)，要求解决一下问题中的任何一个：求一个大小恰好为 (lceil frac n 2 ceil) 的独立集；求一个大小不超过 (k) 的环。已经可以证明对于任意给定的整数 (k) 一定可以解决这两个问题中的一个。

Solution

由于已经保证了对于任意给定的整数 (k) 一定可以解决这两个问题中的一个，我们不妨取 (k=n)，此时如果原图是一棵树，那么我们直接二分图染色即可；否则，必然有一个长度不超过 (n) 的环。

考虑原问题，我们只需要找一个结点数为 (k) 的连通子图（由于原图是连通的所以我们一定能找到），对这个子图进行上面的求解即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
const int N = 5005;

struct Component 
{
    vector <int> vec;
    int c0,c1;
    vector <int> vec0,vec1;
};       

vector <Component> comp;    // 连通分量

vector <int> g[N];

int n,m,t1,t2,t3,n1,n2,n3,vis[N],col[N],seq[N];
bool f[N][N];

vector <int> res_dfs1, res_dfs1_0, res_dfs1_1;

vector <int> ans1,ans2,ans3;

void findans(int i,int j)
{
    Component &c=comp[i-1];
    if(i)
    {
        if(j>=c.c0 && f[i-1][j-c.c0])
        {
            for(int i:c.vec0)
            {
                ans2.push_back(i);
            }
            for(int i:c.vec1)
            {
                if(ans1.size()<n1) ans1.push_back(i);
                else ans3.push_back(i);
            }
            findans(i-1,j-c.c0);
        }
        else if(j>=c.c1 && f[i-1][j-c.c1])
        {
            for(int i:c.vec1)
            {
                ans2.push_back(i);
            }
            for(int i:c.vec0)
            {
                if(ans1.size()<n1) ans1.push_back(i);
                else ans3.push_back(i);
            }
            findans(i-1,j-c.c1);
        }
    }
}

void dfs1(int p)
{
    vis[p]=1;
    if(col[p]==0) res_dfs1_0.push_back(p);
    if(col[p]==1) res_dfs1_1.push_back(p);
    res_dfs1.push_back(p);
    for(int q:g[p])
    {
        if(vis[q]==0)
        {
            col[q]=col[p]^1;
            dfs1(q);
        }
        else 
        {
            if(col[p]==col[q]) 
            {
                cout<<"NO"<<endl;
                exit(0);
            }
        }
    }
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin>>n>>m>>n1>>n2>>n3;
    for(int i=1;i<=m;i++) 
    {
        cin>>t1>>t2;
        g[t1].push_back(t2);
        g[t2].push_back(t1);
    }

    // 分解每个连通分量
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            res_dfs1.clear();
            res_dfs1_0.clear();
            res_dfs1_1.clear();
            dfs1(i);
            comp.push_back({res_dfs1,res_dfs1_0.size(),res_dfs1_1.size(),
                            res_dfs1_0,res_dfs1_1});
        }
    }

    // 背包 DP 
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=comp.size();i++)
    {
        Component &c=comp[i-1];
        for(int j=c.c0;j<=n;j++) f[i][j]|=f[i-1][j-c.c0];
        for(int j=c.c1;j<=n;j++) f[i][j]|=f[i-1][j-c.c1];
    }
    
    bool flagAnswer=f[comp.size()][n2];

    if(flagAnswer==0) 
    {
        cout<<"NO"<<endl;
        return 0;
    }

    // 构造答案
    findans(comp.size(),n2);

    for(int i:ans1) seq[i]=1;
    for(int i:ans2) seq[i]=2;
    for(int i:ans3) seq[i]=3;

    cout<<"YES"<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<seq[i];
    cout<<endl;

}