[HNOI2017] 礼物

Description

给定两个手环，可以将其中一个手环中所有装饰物的亮度增加一个相同的非负整数 c。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 (1 sim n)，其中 (n) 为每个手环的装饰物个数， 第 (1) 个手环的 (i) 号位置装饰物亮度为 (x_i)，第 (2) 个手环的 (i) 号位置装饰物亮度为 (y_i)，两个手环之间的差异值为 sum_{i=1}^{n} (x_i-y_i)^2$。求这个最小值。

Solution

根据

[sum_{i=1}^n (x_i - y_i + c)^2 = sum_{i=1}^n x_i^2 + sum_{i=1}^n y_i^2 - 2 sum_{i=1}^n x_i y_i + 2c(sum_{i=1}^n x_i-sum_{i=1}^n y_i) + nc^2 ]

可以发现 (c) 与交叉乘积项（旋转控制项）相互独立，同时由于答案的非负性，我们只需要分别最小化二者即可。

考虑到 (|c| le m)，(c) 只需要暴力枚举即可。

对于交叉乘积项，我们通过卷积来计算出所有旋转对应的结果。具体地，将第一个环倍增并记做 (A[0..2n-1])，第二个环翻转并记做 (B[0..n-1])，则卷积序列 (C=A*B) 的 (C[n-1+i]) 即表示旋转 (i) 位后的交叉乘积项结果。我们只需要取一个最大值即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 262145
#define pi acos(-1)
using namespace std;

namespace po {
typedef complex<double> E;
int n,m,L;
int R[N];
E a[N],b[N];

void fft(E *a,int f){
	for(int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
	for(int i=1;i<n;i<<=1){
		E wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
		for(int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p){
			E w(1,0);
			for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
				E x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
				a[j+k]=x+y;a[j+k+i]=x-y;
			}
		}
	}
}

void mul(int _n,int *aa,int *bb,int *cc){
    n=_n;
    memset(a,0,sizeof a);
    memset(b,0,sizeof b);
    memset(R,0,sizeof R);
    L=0;
    m=n;
	for(int i=0,x;i<=n;i++)a[i]=aa[i];
	for(int i=0,x;i<=m;i++)b[i]=bb[i];
	m*=2;
	for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
	for(int i=0;i<n;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
	fft(a,1);fft(b,1);
	for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=a[i]*b[i];
	fft(a,-1);
	memset(cc,0,sizeof cc);
	for(int i=0;i<=m;i++) cc[i]=(int)(a[i].real()/n+0.5);
}
}

using po::mul;

int n,m,x[N],y[N],z[N];

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin>>n>>m;

    for(int i=0;i<n;i++) cin>>x[i];
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>y[i];

    int ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++) ans+=x[i]*x[i]+y[i]*y[i];

    int a=0;
    for(int i=0;i<n;i++) a+=x[i]-y[i];

    int tans=1e18;
    for(int i=-m;i<=m;i++) tans=min(tans, n*i*i+2*i*a);
    ans+=tans;
    
    for(int i=0;i<n;i++) x[n+i]=x[i];
    reverse(y,y+n);

    mul(n*2,x,y,z);
    ans-=2*(*max_element(z+n-1,z+2*n-1));

    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}