[HAOI2006] 旅行

Description

给定无向图中的两个点 (s,t)，求一条 (s o t) 的路径，其最大边权和最小边权的比值最小。

Solution

(O(m log^2 n)) 解法

降序枚举最小边权，将满足条件的边全部加入 LCT，动态维护最小生成树即可

最小生成树上需要支持最大边查询

回忆一下怎么用 LCT 维护最小生成树，我们需要对边也建点，不妨记做 (i')，所有边权都记在 (i') 上，当需要加边 (i') 时连接 (i') 和它的两个端点 (u,v)，断边时同理，询问是返回 (i')，这样就可以查表得到它的端点编号

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1000000;
const int dbg = 0;

int n,m,val[N];

struct stredge
{
    int u,v,w;
    bool operator < (const stredge &obj) const
    {
        return w>obj.w;
    }
} edge[N];

namespace lct
{
int top, q[N], ch[N][2], fa[N], rev[N];
int a[N], tag[N], siz[N];
inline void pushup(int x)
{
    a[0] = siz[0] = 0;
    a[x] = x;
    if(val[a[ch[x][0]]]>val[a[x]]) a[x]=a[ch[x][0]];
    if(val[a[ch[x][1]]]>val[a[x]]) a[x]=a[ch[x][1]];
    siz[x] = siz[ch[x][0]] + siz[ch[x][1]] + 1;
}
inline void pushdown(int x)
{
    if(rev[x])
    {
        rev[ch[x][0]]^=1;
        rev[ch[x][1]]^=1;
        rev[x]^=1;
        swap(ch[x][0],ch[x][1]);
    }
}
inline bool isroot(int x)
{
    return ch[fa[x]][0]!=x && ch[fa[x]][1]!=x;
}
inline void rotate(int p)
{
    int q=fa[p], y=fa[q], x=ch[fa[p]][1]==p;
    ch[q][x]=ch[p][x^1];
    fa[ch[q][x]]=q;
    ch[p][x^1]=q;
    fa[q]=p;
    fa[p]=y;
    if(y) if(ch[y][0]==q) ch[y][0]=p;
        else  if(ch[y][1]==q) ch[y][1]=p;
    pushup(q);
    pushup(p);
}
inline void splay(int x)
{
    q[top=1]=x;
    for(int i=x; !isroot(i); i=fa[i]) q[++top]=fa[i];
    for(int i=top; i; i--) pushdown(q[i]);
    for(; !isroot(x); rotate(x))
        if(!isroot(fa[x]))
            rotate((ch[fa[x]][0]==x)==(ch[fa[fa[x]]][0]==fa[x])?fa[x]:x);
}
void access(int x)
{
    for(int t=0; x; t=x,x=fa[x])
        splay(x),ch[x][1]=t,pushup(x);
}
void makeroot(int x)
{
    access(x);
    splay(x);
    rev[x]^=1;
}
int find(int x)
{
    access(x);
    splay(x);
    while(ch[x][0]) x=ch[x][0];
    return x;
}
void split(int x,int y)
{
    makeroot(x);
    access(y);
    splay(y);
}
void cut(int x,int y)
{
    split(x,y);
    if(ch[y][0]==x)
        ch[y][0]=0, fa[x]=0;
}
void link(int x,int y)
{
    if(find(x)==find(y)) return;
    makeroot(x);
    fa[x]=y;
    pushup(y);
}
int query(int x,int y)
{
    split(x,y);
    return a[y];
}
}

void linkedge(int id)
{
    lct::link(n+id,edge[id].u);
    lct::link(n+id,edge[id].v);
}

void cutedge(int id)
{
    lct::cut(n+id,edge[id].u);
    lct::cut(n+id,edge[id].v);
}

int getmaxedge(int p,int q)
{
    return lct::query(p,q)-n;
}

int getmaxweight(int p,int q)
{
    return edge[getmaxedge(p,q)].w;
}

void tryedge(int id)
{
    int u=edge[id].u,v=edge[id].v,w=edge[id].w;
    if(lct::find(u)!=lct::find(v))
    {
        linkedge(id);
    }
    else
    {
        int mw=getmaxweight(u,v);
        if(mw>w)
        {
            int mv=getmaxedge(u,v);
            cutedge(mv);
            linkedge(id);
        }
    }
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v,w;
        cin>>u>>v>>w;
        edge[i]={u,v,w};
    }
    sort(edge+1,edge+m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        val[n+i]=edge[i].w;
    }
    int s,t;
    cin>>s>>t;

    int ansp=1,ansq=0;

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(dbg) cout<<"main() i="<<i<<endl;
        tryedge(i);
        if(lct::find(s)==lct::find(t))
        {
            //ans=min(ans,1.0*getmaxweight(s,t)/edge[i].w);
            if(getmaxweight(s,t)*ansq<edge[i].w*ansp)
            {
                ansp=getmaxweight(s,t);
                ansq=edge[i].w;
                int g=__gcd(ansp,ansq);
                if(g)
                {
                    ansp/=g;
                    ansq/=g;
                }
            }
        }
    }
    if(ansq==0)
    {
        cout<<"IMPOSSIBLE";
    }
    else if(ansq==1)
    {
        cout<<ansp;
    }
    else
    {
        cout<<ansp<<"/"<<ansq;
    }


}