[BZOJ2534] L-gap 字符串

Description

形如 (ABA) 的字符串，其中 (A) 是非空字符串，且 (B) 的长度恰好是 (L)，则称之为 (L-gap) 字符串。给定一个字符串 (S) 和正整数 (L)，求 (S) 中有多少个 (L-gap) 子串。

Solution

考虑枚举 (A) 的长度 (i)，将 (i,2i,3i,...) 位置视为关键点，分别考虑左侧的 (A) 横跨每一个关键点时的情况，由于 (A) 会横跨一个且仅一个关键点，这样统计是不重不漏的

假设当前枚举的关键点为 (p)，则在右侧的 (A) 上与之对应的点是 (p+i+m)，其中 (m) 为题目中的 (L)

求出 (lcp=lcp(p,p+i+m), lcs=lcs(p,p+i+m))，则左侧的 (A) 块可以存在的区间是 ([p-lcs+1,p+lcp-1])

为了确保不重不漏，(lcs,lcp) 需要对 (i) 取 (min)，即不能滑到别的块上去

这个区间的长度为 (lcs+lcp-1)，而 (A) 块的长度为 (i)，故 (A) 块可能存在的位置数目为 (lcs+lcp-i)，即本关键点的贡献

求 (lcs,lcp) 就是后缀数组 + ST 表的板子了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 1000005;
const int dbg = 0;

namespace sa
{

struct st
{
    int a[N][21];
    void build(int *src,int n)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++) a[i][0]=src[i];
        for(int i=1; i<=20; i++)
            for(int j=1; j<=n-(1<<i)+1; j++)
                a[j][i]=min(a[j][i-1],a[j+(1<<(i-1))][i-1]);
    }
    int query(int l,int r)
    {
        int j=log2(r-l+1);
        return min(a[l][j],a[r-(1<<j)+1][j]);
    }
} rmq;

int n,m=256,sa[N],y[N],u[N],v[N],o[N],r[N],h[N],T;
// sa: Suffix Array
// r: Rank Array
// h: Height Array (between sa[i] & sa[i-1])
char str[N];
long long ans;

void presolve(string _str)
{
    for(int i=1; i<=_str.length(); i++) str[i]=_str[i-1];
    n=strlen(str+1);

    for(int i=1; i<=n; i++) u[str[i]]++;
    for(int i=1; i<=m; i++) u[i]+=u[i-1];
    for(int i=n; i>=1; i--) sa[u[str[i]]--]=i;
    r[sa[1]]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++) r[sa[i]]=r[sa[i-1]]+(str[sa[i]]!=str[sa[i-1]]);

    for(int l=1; r[sa[n]]<n; l<<=1)
    {
        memset(u,0,sizeof u);
        memset(v,0,sizeof v);
        memcpy(o,r,sizeof r);
        for(int i=1; i<=n; i++) u[r[i]]++, v[r[i+l]]++;
        for(int i=1; i<=n; i++) u[i]+=u[i-1], v[i]+=v[i-1];
        for(int i=n; i>=1; i--) y[v[r[i+l]]--]=i;
        for(int i=n; i>=1; i--) sa[u[r[y[i]]]--]=y[i];
        r[sa[1]]=1;
        for(int i=2; i<=n; i++) r[sa[i]]=r[sa[i-1]]+((o[sa[i]]!=o[sa[i-1]])||(o[sa[i]+l]!=o[sa[i-1]+l]));
    }
    {
        int i,j,k=0;
        for(int i=1; i<=n; h[r[i++]]=k)
            for(k?k--:0,j=sa[r[i]-1]; str[i+k]==str[j+k]; k++);
    }
    rmq.build(h,n);
}

int query(int p,int q)
{
    if(p==q) return n-p+1;
    p=r[p];
    q=r[q];
    if(p>q) swap(p,q);
    return rmq.query(p+1,q);
}

void test()
{
    if(dbg)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++) cout<<h[i]<<"	";
        cout<<endl;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                cout<<query(i,j)<<"	";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
}
} // namespace sa

void presolve(string s)
{
    string str;
    str+=s;
    str+='#';
    reverse(s.begin(),s.end());
    str+=s;
    reverse(s.begin(),s.end());
    sa::presolve(str);
}

int n;

int getlcs(int p,int q)
{
    return min(min(n-p+1,n-q+1),sa::query(p,q));
}

int getlcp(int p,int q)
{
    p=n+n+1-p+1;
    q=n+n+1-q+1;
    return min(min(p,q),sa::query(p,q));
}

void test()
{
    if(dbg)
    {
        cout<<"lcp:"<<endl;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                cout<<getlcp(i,j)<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
        cout<<"lcs:"<<endl;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                cout<<getlcs(i,j)<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    int m;

    string s;
    cin>>m;
    cin>>s;

    n=s.length();

    presolve(s);

    test();

    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j*i+m+i<=n;j++)
        {
            int p=j*i;
            int q=p+m+i;
            int lcs=getlcs(p,q), lcp=getlcp(p,q);
            lcs=min(lcs,i);
            lcp=min(lcp,i);
            int len=lcs+lcp-i;
            if(len>0) ans+=len;
        }
    }

    cout<<ans<<endl;
}