[CF618D] Hamiltonian Spanning Tree

Description

完全图上有一棵生成树，生成树上的所有边边权为 (x)，其它边边权为 (y)，求最短哈密顿回路。 (n le 200000)

Solution

当 (x ge y) 时，显然走 (y) 边更优，但如果生成树是个菊花图则必须要走一条 (x) 边，这种情况要特判掉

当 (x<y) 时，我们希望尽可能走 (x) 边，这时就变成了一个树上最小覆盖的问题

考虑一个贪心 DFS 的过程，每到达一个新点 (p)，我们知道它最多能有 (2) 度，设剩余度数为 (2)，向下 DFS 到 (q)，每个 DFS 过程会返回一个值，表示该点是否还有剩余度数，那么如果 (q) 有剩余度数，我们就可以在 (p,q) 之间加边，事实上也只需要将 (p) 的剩余度数 (-1)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 1000005;

int n,x,y,t1,t2,ans,d[N];
vector <int> g[N];

int dfs(int p,int fa)
{
    int res=2;
    for(int q:g[p])
    {
        if(q!=fa)
        {
            if(dfs(q,p) && res)
            {
                res--;
                ans++;
            }
        }
    }
    return res;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin>>n>>x>>y;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        cin>>t1>>t2;
        g[t1].push_back(t2);
        g[t2].push_back(t1);
        d[t1]++;
        d[t2]++;
    }

    if(x>=y)
    {
        if(*max_element(d+1,d+n+1)==n-1)
        {
            cout<<x+y*(n-2)<<endl;
        }
        else
        {
            cout<<y*(n-1)<<endl;
        }
    }
    else
    {
        dfs(1,0);
        cout<<x*ans+y*(n-1-ans)<<endl;
    }
}