给定由 (n) 个整数组成的集合 (A)。现给定 (m) 组集合,每个集合 (S_i) 都是 (A) 的一个真子集(这里的集合描述为 (A) 中元素下标集合),求是否存在集合 (A) 使得对 (forall_{1 leq i leq m}) 不等式 (LCM(S_i) > LCM(A - S_i)) 恒成立。
Solution
如果存在两个集合没有交集,设为 (S,T),则 (LCM(S)> LCM(A-S) ge LCM(T)),破坏了对称性,则一定无解
否则我们给每个集合安排一个质数 (p_i),设用过的所有质数集合为 (P),设 (prod S) 是整数集合 (S) 的广义积,那么对于集合 (i),其 (LCM) 为 (prod P),而其补集一定不大于 (prod P-{ p_i }),于是一定存在解
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bitset <10001> bs[55];
int n,m,k,t;
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>m>>n;
int fg=1;
for(int i=1;i<=m;i++) {
cin>>k;
while(k--) {
cin>>t;
bs[i][t]=1;
}
for(int j=1;j<i;j++) if((bs[i]&bs[j]).count()==0) fg=0;
}
cout<<(fg?"possible":"impossible");
}