[HAOI2015] 按位或

初态下，分数为 (0)。每秒钟，随机选择一个 ([0,2^n-1]) 的数字与当前的数字做按位或运算。选择数字 (i) 的概率是 (p_i)，求分数达到 (2^n-1) 的期望时间。(nleq 20)

Solution

先介绍一下 Min-Max 容斥原理。设 (max(S),min(S)) 分别是集合 (S) 中的最大值与最小值，则有

[max(S)=sum_{Tsubseteq S} (-1)^{|T|+1} min(T) \ min(S)=sum_{Tsubseteq S} (-1)^{|T|+1} max(T) ]

Min-Max 容斥原理对随机变量的期望成立。

回到原问题，对于某个位置集合，考虑将每个位变为 (1) 的时间扔进一个集合，那么 (min(S)) 是集合中第一个变 (1) 元素的时间，(max(S)) 是最后一个。

于是答案就是 (E(max(U)))，其中 (U) 为全集。利用 Min-Max 容斥原理我们可以将它转化为求对于每一个子集的 (E(min(S)))，而 (min(S)) 符合几何分布，于是有

[egin{aligned} E(min(S)) &= sum_{i=1}^{infty} iP(min(S)=i) \ &= sum_{i=1}^infty i(sum_{TS=varnothing}p_T)^{i-1}(1-sum_{TS=varnothing}p_T) \ &= frac{1}{1-sum_{TS=varnothing}p_T} end{aligned} ]

于是现在我们需要对所有 (Ssubseteq U)，求出 (sum_{TS=varnothing} p_T)

考虑 FMT，可以用来求出 (forall S, g(S)=sum_{Tsubseteq S} f(T))

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double a[2000005],ans;
int n;

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    for(int i=0;i<1<<n;i++) cin>>a[i];
    int up=1<<n;
    for(int k=1;k<up;k<<=1)
        for(int s=0;s<up;s+=k<<1)
            for(int i=s;i<s+k;i++)
            {double a0=a[i];double a1=a[i+k];a[i]=a0;a[i+k]=a0+a1;}
    for(int i=1;i<up;i++) {
        if(1-a[(up-1)^i]<1e-10) {
            puts("INF");
            return 0;
        }
        ans += (__builtin_popcount(i)%2?1:-1)*1/(1-a[(up-1)^i]);
    }
    printf("%.8lf",ans);
}