求 (K) 是多少个 (n) 元置换的周期。(Tleq 100, nleq 50, K leq 10^{18})
Solution
置换可以被试做若干个环组成的有向图,于是考虑 dp,设 (f[i]) 表示 (n=i) 时的答案,则
[f[i]=sum_{j=1}^n [j|K] cdot C_{i-1}^{j-1} cdot (j-1)!cdot f[i-j]
]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 998244353;
const int N = 105;
int t,n,k,f[N],c[N][N],frac[N];
signed main() {
frac[0]=1;
for(int i=1;i<=100;i++) frac[i]=(frac[i-1]*i)%mod;
for(int i=0;i<=100;i++) c[i][0]=1;
for(int i=1;i<=100;i++) {
for(int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}
cin>>t;
while(t--) {
cin>>n>>k;
memset(f,0,sizeof f);
f[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=i;j++) {
if(k%j==0) {
f[i]+=c[i-1][j-1]*frac[j-1]%mod*f[i-j]%mod;
f[i]%=mod;
}
}
}
cout<<f[n]<<endl;
}
}