试题 算法提高 第二点五个不高兴的小明(dp）

问题描述

　　有一条长为n的走廊，小明站在走廊的一端，每次可以跳过不超过p格，每格都有一个权值wi。
　　小明要从一端跳到另一端，不能回跳，正好跳t次，请问他跳过的方格的权值和最大是多少？

输入格式

　　输入的第一行包含两个整数n, p, t，表示走廊的长度，小明每次跳跃的最长距离和小明跳的次数。
　　接下来n个整数，表示走廊每个位置的权值。

输出格式

　　输出一个整数。表示小明跳过的方格的权值和的最大值。

样例输入

8 5 3
3 4 -1 -100 1 8 7 6

样例输出

12

数据规模和约定

　　1<=n, p, t<=1000, -1000<=wi<=1000。

思路

dp[i][j]代表第i位置跳到目标位置消耗j次跳的最大权值，倒数的后p+1个可以一步跳到一端，所以初始化dp[i][1]=w[i]；

从后往前递推，最后输出dp[0][t]即是所求答案。p可能比n大，注意数组越界。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
ll w[1005];
ll dp[1005][1005];
ll n,p,t;
const ll inf=0x3f3f3f;
int main(){
    cin>>n>>p>>t;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
    for(int i=n;i>=n-p&&i>=0;i--)dp[i][1]=w[i];///目标即是达到跳数为1时达到这些点
    for(int i=n;i>=0;i--){
        for(int j=2;j<=t;j++){///最后到达剩余1次跳数的格子
            dp[i][j]=-inf;///先置为无法到达(跳数过多or跳数过少）
            for(int k=1;k<=p&&i+k<=n;k++){
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+k][j-1]);
            }
            if(dp[i][j]!=-inf)dp[i][j]+=w[i];///如果可以到达，加上本身的格子
        }
    }
    cout<<dp[0][t]<<endl;///从0位置花费t次到达另一边
    return 0;
}

也可以记忆化搜索

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
ll w[1005];
ll dp[1005][1005];
ll n,p,t;
const ll inf=0x3f3f3f;
ll maxx=-inf;
int dfs(int m,int step){
    if(m>n+1||step<0)return -inf;///超过位置or步数不足
    if(step>n+1-m)return -inf;///剪枝，步数过多
    if(dp[m][step]!=-1)return dp[m][step];///更新过最优值，直接返回
    if(step==1){///剩余1步时
        if(n-m<=p)return dp[m][step]=w[m];///m跳到另一端小于等于p格
        else return -inf;///返回不可达
    }
    int sum=-inf;
    for(int i=1;i<=p;i++){
        sum=max(sum,dfs(m+i,step-1));
    }
    if(sum!=inf)sum+=w[m];///加上本身的权值
    return dp[m][step]=sum;
}
int main(){
    cin>>n>>p>>t;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
    cout<<dfs(0,t)<<endl;
    return 0;
}