试题 历届试题 k倍区间(前缀和)

问题描述

　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。


　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入格式

　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出格式

　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。

样例输入

5 2
1
2
3
4
5

样例输出

6

思路

利用预处理前缀和来实现，再去遍历每个区间的和，算法复杂度o(n^2)，不出意外地超时，只得了28分。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>v(100000);
vector<int>pre(100000);
int main()
{
    int n,k,a,c=0;cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>a;
        v[i]=a;
        if(i==0)pre[i]=0;
        else pre[i]=pre[i-1]+v[i-1];
    }
    pre[n]=pre[n-1]+v[n-1];
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=i;j<=n;j++){
            if((pre[j]-pre[i])%k==0&&(pre[j]-pre[i])!=0){
                c++;
            }
        }
    }
    cout<<c<<endl;
    return 0;
}

附上网上大牛的分析

求区间[l,r]的和是k的倍数的个数。求区间和，我们可以通过前缀和来求出。我们规定sum[i]表示第1个元素到第i个元素的和。那么sum[r] - sum[l-1]就是区间[l,r]的和。区间[l,r]的和是k的倍数即(sum[r] - sum[l-1])%k == 0 即sum[r]%k == sum[l-1]%k
　　那么，我们求出每个前缀和，在求的过程中取模，两个相等的前缀和就能组成一个k倍区间。我们可以在计算完前缀和以后，使用两层for循环来计数k倍区间的个数。但是由于数据量较大，这样是会超时的。那么我们是否能在计算前缀和的过程中来记录k倍区间的个数呢？
我们用一个数组cnt[i]表示当前位置之前，前缀和取模后等于i的个数。举个例子：

　　数列 1 2 3 4 5   mod = 2
　　对前1个数的和取模， 为1 之前有0个前缀和取模后为1，个数+0
　　对前2个数的和取模， 为1 之前有1个前缀和取模后为1，个数+1
　　对前3个数的和取模， 为0 之前有0个前缀和取模后为0, 个数+0
　　对前4个数的和取模， 为0 之前有1个前缀和取模后为0，个数+1
　　对钱5个数的和取模， 为1 之前有2个前缀和取模后为1，个数+2
　　到目前为止ans = 4。但是ans应该等于6，因为这样计算后，我们漏掉了前i个数的和取模是k的倍数的情况，即[0,i]区间和是k的倍数，因此，我们要在ans = 4 的基础上 加上前缀和取模后为0的个数 即ans+2 = 6;
复杂度o(n)，直接输入顺便处理了，太无敌了.......

注意数据要定义为long long int；不然只有85分....

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<long long int>cnt(100005);
vector<long long int>sum(100005);
int main()
{
    cnt.clear();sum.clear();
    int n,k,temp;
    long long int ans=0;cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>temp;
       if(i==0)sum[i]=temp;
       else sum[i]=sum[i-1]+temp;
       ans+=cnt[sum[i]%k];
       cnt[sum[i]%k]++;
    }
    cout<<ans+cnt[0]<<endl;///加上本身就可以整除的数字
}