Luogu P4782 【模板】2-SAT 问题

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SAT(Satisfiability)问题：

有n个$bool$变量，m个需要满足的条件，形如“xi为true || xj​为false || xk为 false…”。

给每个变量赋值，使得所有条件得到满足。

SAT问题已被证明为NP完全，只能暴力枚举求解。

特别地，如果每个条件中约定的变量只有2个，那么就可以用tarjan强连通分量求解，即2-SAT问题。

感性理解：

假设有一些“若x，则y”的条件，将$x$-> $y$连边。

建图后，使用tarjan缩点，若发现x和非x在同一连通块内，则一定无解。

那么，对于“x||y”的条件，可以把它转变为“若!x，则y”&&“若!y，则x”。

将以上两个条件连边。一共有n个节点，!i的编号可以表示为i+n。

tarjan缩点后，检查点1~n是否有$col[i] = col[!i]$，若有则无解。

tarjan得出连通块的编号col[]恰好是拓扑序的逆序。拓扑序在后边的，对其他的节点影响小。

所以输出方案时，$col[i] < col[!i]$则选i，否则选-i。

代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define MogeKo qwq
using namespace std;
const int maxn = 2e6+10;
int n,m,x,y,a,b,cnt,num,tot,top;
int dfn[maxn],low[maxn],sta[maxn],col[maxn];
bool insta[maxn];
int head[maxn],to[maxn],nxt[maxn];

void add(int x,int y) {
    to[++cnt] = y;
    nxt[cnt] = head[x];
    head[x] = cnt;
}

void tarjan(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++tot;
    insta[u] = true;
    sta[++top] = u;
    for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
        int v = to[i];
        if(!dfn[v]) {
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        } else if(insta[v])
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u] == low[u]) {
        col[u] = ++num;
        while(sta[top] != u) {
            int v = sta[top--];
            col[v] = col[u];
            insta[v] = false;
        }
        top--;
        insta[u] = false;
    }
}

int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d%d%d",&x,&a,&y,&b);
        add(x+(!a)*n, y+b*n);
        add(y+(!b)*n, x+a*n);
    }
    for(int i = 1; i <= 2*n; i++)
        if(!dfn[i]) tarjan(i);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(col[i] == col[i+n]) {
            printf("IMPOSSIBLE
");
            return 0;
        }
    printf("POSSIBLE
");
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(col[i] < col[i+n]) printf("0 ");
        else printf("1 ");
    }
    return 0;
}

棵题：Luogu P4171 [JSOI2010]满汉全席