Luogu P2893 [USACO08FEB]修路Making the Grade

传送门

修改数组里的值，使数组（不严格）单调，且改动最小。

考虑动态规划。

上升和下降的方法都是一样的，以上升为例。

当修改一个数时，一定会把它修改成数组中出现过的某一个数。

那么把数组离散化一下，$b[i]$表示数组中第$i$大的数（这里可以用unique去重一下）。

那么只要枚举将每个数修改成其他数，且前面的数≤这个数时的最小值就可以了。

但是每次枚举这个数之前的所有数的情况会很多，所以每枚举一位要把最小值处理出来。

设$f[i][j]$为当前枚举到第$i$位，前$i$位的值都不超过$b[j]$时，修改的最小值。

如果把$a[i]$修改为$b[j]$，则总花费为$abs(a[i]-b[j])$+之前$i-1$位的花费$f[i-1][j]$。

如果前$i$个数都不超过$b[j-1]$，则也一定不超过$b[j]$，那么前$i$位的值都不超过$b[j]$的最小花费，也可以从前$i$位的值都不超过$b[j-1]$的最小花费转移过来。

则状态转移方程为$f[i][j] = min(f[i-1][j]+abs(a[i]-b[j]),f[i][j-1])$

f[i][j] = abs(a[i]-b[j]);
if(i > 1) f[i][j] += f[i-1][j]; 
f[i][j] = min(f[i][j],f[i][j-1]);

完整代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#define MogeKo qwq
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 2010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n,m,ans,a[maxn],b[maxn],f[maxn][maxn];

void init() {
    for(int i = 0; i <= n; i++)
        for(int j = 0; j <= m; j++)
            f[i][j] = INF;
}

void dp() {
    init();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j] = abs(a[i]-b[j]);
            if(i > 1) f[i][j] += f[i-1][j];
            f[i][j] = min(f[i][j],f[i][j-1]);
        }
}

int main() {
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        b[i] = a[i];
    }
    sort(b+1,b+n+1);
    m = unique(b+1,b+n+1)-b-1;
    dp();
    ans = f[n][m];
    sort(b+1,b+m+1,greater<int>());
    dp();
    ans = min(ans,f[n][m]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}