PB15151793 陈灿
为什么要读《编程之美》？
最近接连面试，发现算法真得很重要，想要快速掌握面试中可能问道的算法题目，于是想到了“微软面经”的《编程之美》。因为此书涉及到的算法还是比较多的，而且每个题目都不是那么一下子就能做出来的，因此预计要花3个星期才能看完这本书，每个星期我都会更新自己的博客作为自己的读书笔记。
这星期主要看的是《编程之美》第二章《数字之魅》。我觉得开头的一句话非常有意义：面试是双方平等交流的过程，有时分不清谁在面试谁。联系之前自己的面试经历，觉得自己表现得是有点被动了，每次都是被面试官问得团团转，在气场上就弱了下来。我想对于以后的面试，尽力还是以一种平等的姿态对话吧。前提是自己得变得至少在某一方面和面试官一样强，这就需要不断地完善自己了。
好了进入算法的正题了，我还是先总结一下我看过的这些题的总体思想。从时间复杂度上讲，我觉得这些代码最核心的思想分为两点：“只计算必要的信息”和“空间换时间”。
何为“只计算必要的信息”？
我觉得具体可以细分为两个方面。从一方面来说，之前已经计算过这个信息，后面可以不用再计算了，就是充分地利用之前的信息，这样可以减少计算量，总结一下就是“减少重复的计算”。举个例子，计算1个一维数组的最大值和最小值，我们需要比较多少次？最一般的想法就是，遍历数组2次，每次分别求得最大值和最小值，这样需要比较2N次。但是这里比较的2N次是否都是计算必要的信息尼？在第一次比较这个数组求最大值的时候，我们比较了A[i]和A[j],悲剧的是，第二次比较的时候我们可能还会重复的比较A[i]和A[j]，这一点就很不好了，那么我们能否只让他们仅仅只比较一次了，当然是可以的。我们可以每次比较相邻的2个元素，以2为间隔把数组扫面一遍，每次比较A[i] < A[i+1]的时候，我们拿A[i]去和min相比，拿A[i+1]和max相比，做出相应更新。这样我们就把比较次数降低到了1.5N次。
从另外一方面来说，就是对于一个具体的问题，确定这个问题答案的信息量是1bit，那么我们的代码就只能计算这1bit的信息，不能有冗余的计算。这个和前面有所不同，在于前面是不计算已经计算过的信息，而这儿是不计算不需要计算而且没被计算的信息。举个例子吧，Tango水王帖子数目超过Tango上所有其他用户的帖子总和，求水王帖子的ID。计算这个问题直观的思路是我把Tango上出现的所有帖子按照ID排序，这样最后数组的N/2项一定是水王帖子的ID，时间复杂度为O(NlogN),但是我们仔细想想我们真的需要把所有的帖子ID都排序吗？这里的信息又有多少是我们真正需要的尼？有了这个指导思想，我们就必须想缩减问题的信息量，这就必须结合问题所给的条件，为什么要结合问题所给的条件？因为从相对论意义上，条件减少了熵。具体想法是设立一个candidate变量和size变量(初值为0),当读入一个ID并且发现当前没人占着位子（即size为0的时候），把这个ID作为可能的水王放入位子，并且记下candidate = ID，当读入一个ID发现有人占着位子的时候（size > 0)，这个时候我们比较一下candidate和ID，如果相同，size++，表示又多了一个相同的ID；如果不同，两两抵消，size--。这里用到的主要思想就是每次我们拿两个不同的ID出来，这样到最后剩下的ID一定是水王的ID，因为最坏的情况也就是水王的ID每次都参与了抵消，但是他最后还是能被剩下，非常clever的一个idea。
何为空间换时间？
个人感觉空间换时间都有一种"hash"的思想在里面，即通过精心设计的函数把一个或者一组相关元素放进特定的区域，这种操作一般都是O（1）的，但是耗费了一定的空间。这里就直接举个简单例子吧。给定一个数组Arr[1-N],求出相邻2个数的最大差值。定义X与Y相邻即，不存在数组中其他元素位于X与Y之间。这个题目看起来直接做一个排序，然后算一下差值就能解出来了。但是这样做时间复杂度是O（NlogN)。这里其实要结合鸽巢原理，先求出Arr的max和min，把max-min分配进入中间N个数组所组成的空里， 至少有一个间隔是大于delta：
delta = （max - min）/(N-1)
那么相邻2个数的最大差值也一定大于delta。然后我们按照delta作为一个基本单元，实现空间的基本划分，将每个数组元素hash到各个划分里，注意一个划分里的任意2个元素是不可能取到最大差值的，最大差值只可能在相邻2个划分取得。这样只要记录下每个划分的最大值和最小值就可以了，时间复杂度和空间复杂度均为O（N)。非常clever的一个idea。这里为什么能减少计算量？最主要是各个元素对应到划分的hash操作，使得数组基本有序了。为什么这样基本有序了，我们就能马上求出想要的结果？这主要是借助我们的鸽巢原理，所以离散数学学好很关键啊！
其他
接下来，简单讨论一下我觉得还比较有意思的一些题目。觉得《编程之美》这本书最好的一个地方在于：对于一个问题的分析，能够循序渐进，而不是在一开始就给出了最优解法。
比如第一题，求二进制中1的个数。最朴素的思想就是每次除以2，求余数。后来补充这个最朴素的思想也可以用位运算来实现。但是这两种做法的复杂度都是O(logV)，而我们的目的只是计算V中1的个数，所以很多计算是不必要的，如果仅仅能只与1的个数有关系，那才是比较好的解法。这里实际上就有一个小trcik了，如果V是一个二进制数，那么通过
V= V&（V-1）
就能消除最右边的那个1了。只要判断这个运算能做多少次，就行了。但实际上我们还可以采用空间换时间的算法，即把每个数字都映射到对应1的个数，还是hash的思想。
另外还可以学到一个拓展的trick，即判断n是否是2的幂次：
n > 0 && ( (n&(n-1)) == 0)
觉得Tango问题的扩展也很有意思，即有3个发帖人的发帖数目都多于1/4,求这3个人的ID。这样我们求解的时候，就要设立3个candidate记录3个可能成为水王的不同ID，唯一不同的一点在于我们每次碰到与3个candidate不同的ID的时候，我们用这个ID同时抵消这3个candidate的ID，这样最坏的情况下（即每次3个水王都被抵消了），最后3个candidate依然存放着不同candidate的ID。
还有一个觉得很有意思的点是Fibonacci数列通项的求解，作者给了一种有趣的求法，之前其实在学线性代数的时候求过，只是当时没意识到重要性。
记矩阵A
A = （1 1）
（1 0）
那么（Fn， Fn-1） = （Fn-1， Fn-2）*A，这样一直递归下去，利用矩阵的知识可以化简运算，我觉得非常有趣！
其实还有很多很多有趣的问题，这里就不一一列出了，期待在接下来的阅读中能收获更多的东西！