BZOJ 2299 向量

Description

给你一对数(a,b)，你可以任意使用((a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a))这些向量，问你能不能拼出另一个向量((x,y))。
说明：这里的拼就是使得你选出的向量之和为((x,y))。

Input

第一行数组组数(t)，((t le 50000))
接下来t行每行四个整数(a,b,x,y)((-2 imes10^{9} le a,b,x,y le 2 imes 10^{9}))

Output

(t)行每行为(Y)或者为(N)，分别表示可以拼出来，不能拼出来。

Sample Input

3
2 1 3 3
1 1 0 1
1 0 -2 3

Sample Output

Y
N
Y

HINT

样例解释：

第一组：((2,1)+(1,2)=(3,3))
第三组：((-1,0)+(-1,0)+(0,1)+(0,1)+(0,1)=(-2,3))

本题实际上有用的向量只有((a,b),(b,a),(a,-b),(b,-a))（假设可以选负的）。
我们假设四个向量分别用了(k_{1},k_{2},k_{3},k_{4})个，那么我们可以得到方程：$$(k_{1}+k_{3})a+(k_{2}+k_{4})b=x$$$$(k_{1}-k_{3})b+(k_{2}+k_{4})a=y$$
转变一下，我们令(S = k_{1}+k_{3},T = k_{1}-k_{3},P = k_{2}+k_{4},Q = k_{2}+k_{4})，于是有$$S imes a+P imes b = x$$$$T imes b+Q imes a = y$$
即存在合法的(P,Q,S,T)使得两个不定方程成立（(S,T)同奇偶，(P,Q)同奇偶（同奇偶后我们一定可以找到一组解使得(P,Q)相等））。
根据翡蜀定理，我们必定可以找到一组合法解满足(Ax+By=gcd(A,B))。(A,B)同奇偶，当且仅当(A,B)同奇或(A,B)同偶。
对于(S,T,P,Q)同偶的情况，即为$$2 imes gcd(a,b) mid x $$$$2 imes gcd(a,b) mid y$$
对于(S,T,P,Q)同奇的情况，即为$$2 imes gcd(a,b) mid x-a-b$$$$2 imes gcd(a,b) mid y-a-b$$
对于(S,T)同奇(P,Q)同偶的情况，即为$$2 imes gcd(a,b) mid x-a$$$$2 imes gcd(a,b) mid y-b$$
对于(S,T)同偶(P,Q)同奇的情况，即为$$2 imes gcd(a,b) mid x-b$$$$2 imes gcd(a,b) mid y-a$$
判一下即可。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;

long long d;

inline long long gcd(long long a,long long b) { return b?gcd(b,a%b):a; }
inline bool okay(long long a,long long b) { return !(a%d)&&!(b%d); }

int main()
{
	freopen("2299.in","r",stdin);
	freopen("2299.out","w",stdout);
	long long T; scanf("%lld",&T);
	while (T--)
	{
		long long a,b,x,y; scanf("%lld %lld %lld %lld",&a,&b,&x,&y);
		if (!a && !b)
		{
			if (!x && !y) printf("Y
");
			else printf("N
");
		}
		else
		{
			d = gcd(a,b)<<1;
			if (okay(x,y)||okay(x-a,y-b)||okay(x-b,y-a)||okay(x-a-b,y-a-b)) printf("Y
");
			else printf("N
");
		}
	}
	fclose(stdin); fclose(stdout);
	return 0;
}