BZOJ 1045 糖果传递

Description

有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

Input

小朋友个数n 下面n行 ai

Output

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

Sample Input

4
1
2
5
4

Sample Output

4

HINT

数据规模

30% n<=1000

100% n<=100000

Source

白书上的原题，但是做法的确很神奇。

假设我们最终分糖果分匀时，每个人所拥有的糖果数量为M。我们用xi表示i号给了i-1号xi个糖果(x₁表示1号给了4号的糖果数，若x_i<0，择表示i-1号给了i号|x_i|个糖果)，A_i表示每个人原有的糖果数。因此我们可以列出方程。

对于第一个人而言：A₁-x₁+x₂=M → x₂=M-A₁+x₁=x₁-C₁（规定C_i=ΣA_j*(j=1,j<=i)+i*M，C₀=0）；

对于第二个人而言：A₂-x₂+x₃=M → x₃=M-A₂+x₂=2M-A₁-A₂+x₁(代入x₂=M-A₁+x₁)=x₁-C₂;

同理...... 第n个人所得的式子是多余的。

所以ans=min(Σ|x_i|(i<=n))=min(Σ|x₁-C_i|(i=0，i<n))。这个式子的几何意义是给定数轴上的n个点，找出一个点到他们的距离和最近。

这是个很经典的式子，我们最优的x1一定是在所有Ci的中位数上。就这样答案就出来了。(我并不会证明)

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define maxn 1000010
long long n,x,a[maxn],c[maxn],m;
long long ans;

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (long long i = 1;i <= n;++i) scanf("%lld",a+i),c[i] = c[i-1]+a[i];
    m = c[n]/n;
    for (long long i = 1;i < n;++i) c[i] -= i*m;
    sort(c+1,c+n);
    x = c[n>>1];
    ans = abs(x);
    for (long long i = 1;i < n;++i)
        ans += abs(c[i]-x);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}