欧拉定理

欧拉定理

欧拉定理，是指对于所有的 (n)，若 (a) 与 (n) 互质，那么

[a^{phi(n)} equiv 1 pmod{n} ]

证明

那么这个东西是怎么来的呢？
我们首先把 (1)~(n-1) 中与 (n) 互质的数放到一个集合 (X) 里：

[X={ x_1,x_2,cdots ,x_{phi(n)} } ]

然后，我们再用一个集合 (M) 记录 (a imes x_i)：

[M={ a imes x_1,a imes x_2,cdots,a imes x_{phi(n)} } ]

然后，我们要证明两个东西。

证明 M 内所有的元素模 n 后不同余

这里我们用反证法，假设存在 (i,j in M) 且 (i ot= j) 并满足

[m_i equiv m_j pmod{n} ]

那么，我们把他拆开来：

[a imes x_i equiv a imes x_j pmod{n} ]

这里我们假设 (m_i > m_j)再移个项：

[a imes x_i - a imes x_j equiv 0 pmod{n} ]

由于 (a) 与 (n) 互质：

[x_i - x_j equiv 0 pmod{n} ]

那么，由于 (x_i,x_j) 都小于 (n)，所以 (x_i - x_j < n)，又因为 (x_i ot= x_j)，所以假设不成立。

证明 M 中的每个元素模 n 后都与 n 互质

这个很简单粗暴。
我们知道 (m_i=a imes x_i)。
由于 (a) 与 (n) 互质，(x_i) 也与 (n) 互质，所以 (m_i) 模 (n) 后也与 (n) 互质。
其实带到欧几里得算法里推一下就好了：

[gcd(a imes x_i,n)=gcd(m_i,n)=gcd(n,m_i mod n)=1 ]

推柿子

根据上面两个性质，就可以推柿子了：

[m_1 imes m_2 imes cdots imes m_{phi(n)} equiv x_1 imes x_2 imes cdots imes x_{phi(n)} pmod{n} ]

[a imes x_1 imes a imes x_2 imes cdots imes a imes x_{phi(n)} equiv x_1 imes x_2 imes cdots imes x_{phi(n)} pmod{n} ]

[a^{phi(n)} imes x_1 imes x_2 imes cdots imes x_{phi(n)} equiv x_1 imes x_2 imes cdots imes x_{phi(n)} pmod{n} ]

[(a^{phi(n)}-1) imes x_1 imes x_2 imes cdots imes x_{phi(n)} equiv 0 pmod{n} ]

[a^{phi(n)} equiv 0 pmod{n} ]

于是就搞出来啦~

费马小定理

呼_{终于证完了}
啥？还有费马小定理？
费马小定理其实就是欧拉定理的一个特殊的情况啦~
费马小定理是说，若 (n) 为质数，那么对于所有满足 (a mid n) 的 (a)，都有

[a^{p-1} equiv 1 pmod{n} ]

为什么说费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况呢？因为当 (n) 为质数时，(phi(n)=n-1)，而且 (a mid n) 就相当于 (a) 与 (n) 互质。