欧拉函数小记

简单整理一下欧拉函数的相关内容、

定义

φ(n) 表示在[1,n]内，所有与n互质的数的个数。

通式：

$φ(n) = nprodlimits_{i=1}^k (1-frac{1}{p_i}) $

或者

$φ(n) = nprodlimits_{i=1}^k (frac{p_i-1}{p_i}) $

其中：

$n = p_1^{a_1}p_1^{a_2}...p_k^{a_k}$

其中φ(1) = 1

特别的，当n是素数时，φ(n) = n-1

性质

1、欧拉函数是积性函数，即

当(n,m)=1时，$φ(n*m) = φ(n) * φ(m)$

2、欧拉定理

$x^{φ(p)} ≡ 1 (mod m)$

证明

3、特殊性质

若n是奇数

φ(2n) = φ(n)

求欧拉函数

1、通式求法

即按照定义中的通式求，复杂度$O(sqrt{n})$

//为了防止小数，所以假设在开始时，已经没有了分母，即pi
//那么对于有些素因子有多个的，需要再乘上
//因为去分母只去了一个素因子,那么需要再乘ai-1个
int getphi(int x) {
    int ret = 1;
    for (int i=2; i*i<=x; ++i) {
        if (x % i == 0) {
            ret *= (i-1);
            x /= i;
            while (x % i == 0) x /= i, ret *= i;
        }
    }
    if (x > 1) ret *= (x - 1); // x是素数
    return ret;
}

2、线性筛法

使用线性筛素数的板子，稍加修改。分为三种情况

（1）若n是素数，根据定义，φ(n)=n-1;

（2）若n不是素数，设n=i*p，其中p是素数。此时再分为两种情况。

• 如果i%p==0，φ(i*p)=φ(i)*p
• 如果i%p!=0，φ(i*p)=φ(i)*(p-1)

网上很多大牛都有对于这一步的证明，而我自己乱搞了一下，一个比较直观的证明

对于第二条，很显然，由欧拉函数是积性函数可以推出。

第一条：i%p==0，那么将i质因数分解后，其中一定有p

那么，n(即i*p)质因数分解后的质因子与i分解后的相同，个数也相同。

然后在看一下定义，发现，现在φ(i)只要乘上一个p就是φ(n)了。

即： 

$i=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p^a...p_k^{a_k}$

$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p^{a+1}...p_k^{a_k}$

$φ(i) = i*frac{1}{1-p_1}frac{1}{1-p_2}...frac{1}{1-p}...frac{1}{1-p_k}$

$φ(n) = i*p*frac{1}{1-p_1}frac{1}{1-p_2}...frac{1}{1-p}...frac{1}{1-p_k} = n*frac{1}{1-p_1}frac{1}{1-p_2}...frac{1}{1-p}...frac{1}{1-p_k}$

所以：φ(n)=φ(i)*p

void getphi() {
    for (int i=2; i<=N; ++i) {
        if (!noprime[i]) prime[++tot] = i,phi[i] = i-1;
        for (int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<=N; ++j) {
            noprime[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
        }
    }
}

例题