1497: [NOI2006]最大获利
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Description
新的技术正冲击着手机通讯市场,对于各大运营商来说,这既是机遇,更是挑战。THU集团旗下的CS&T通讯公司在新一代通讯技术血战的前夜,需要做太多的准备工作,仅就站址选择一项,就需要完成前期市场研究、站址勘测、最优化等项目。在前期市场调查和站址勘测之后,公司得到了一共N个可以作为通讯信号中转站的地址,而由于这些地址的地理位置差异,在不同的地方建造通讯中转站需要投入的成本也是不一样的,所幸在前期调查之后这些都是已知数据:建立第i个通讯中转站需要的成本为Pi(1≤i≤N)。另外公司调查得出了所有期望中的用户群,一共M个。关于第i个用户群的信息概括为Ai, Bi和Ci:这些用户会使用中转站Ai和中转站Bi进行通讯,公司可以获益Ci。(1≤i≤M, 1≤Ai, Bi≤N) THU集团的CS&T公司可以有选择的建立一些中转站(投入成本),为一些用户提供服务并获得收益(获益之和)。那么如何选择最终建立的中转站才能让公司的净获利最大呢?(净获利 = 获益之和 - 投入成本之和)
Input
输入文件中第一行有两个正整数N和M 。第二行中有N个整数描述每一个通讯中转站的建立成本,依次为P1, P2, …, PN 。以下M行,第(i + 2)行的三个数Ai, Bi和Ci描述第i个用户群的信息。所有变量的含义可以参见题目描述。
Output
你的程序只要向输出文件输出一个整数,表示公司可以得到的最大净获利。
Sample Input
1 2 3 4 5
1 2 3
2 3 4
1 3 3
1 4 2
4 5 3
Sample Output
HINT
【样例说明】选择建立1、2、3号中转站,则需要投入成本6,获利为10,因此得到最大收益4。【评分方法】本题没有部分分,你的程序的输出只有和我们的答案完全一致才能获得满分,否则不得分。【数据规模和约定】 80%的数据中:N≤200,M≤1 000。 100%的数据中:N≤5 000,M≤50 000,0≤Ci≤100,0≤Pi≤100。
分析
推荐文章:胡伯涛 《最小割模型在信息学竞赛中的应用》
对于图闭合图建成网络,是:构造一个源点S,汇点T。将S与所有权值为正的点连一条容量为其权值的边,将T所有权值为负的点连一条容量为其权值的绝对值的边,原来的边将其容量定为正无穷。
那么怎么运用到题目上呢,需要进行转化一下。
我们可以理解成:人是正权值的点(有获益),中转站是负权值的的点(建造需要成本),每个人有两个所属的中转站,人和两个中转站之间有两条边。是不是很奇妙
这样就形成了一个闭合图,用上面的话,构造一个源点S,汇点T,正权值点(人)向S连边,容量就是点的权值;负权值点(中转站)向T连边,容量是点权值得绝对;原来的边容量正无穷。
网络图就构造好了,就是下面的图,求出最小割,即最大流,用sum-最大流。sum所有人带来的获益的和(所有正权值点的权值和)
求最小割的意义:
对于这样建图,其实还可以这样理解的,我再补充一下,如果理解求最大权闭合图,就可以做了,可以直接跳过。
我们建好图后,就是下面的图,然后求最小割,为啥求最小割呢(上面文章中有,这是另一种思路)。
求最小割其实就是求最少的花费,sum是所有人的带来的收益和,那么sum把所有的收益加起来了,减去花费不就是最大获益吗?这就是为什么求最小割了。
所以:最小割是花费,要让花费尽量小。
那么求最小割了,设最小割是ans花费,随后要用sum-ans:
- 首先中间的绿边是一定不能切的,切一条绿边的花费就是正无穷了!!!
- 切红边是什么意思呢:表示这个人的收益不要了,不需要满足他了
- 切蓝边:这个中转站建(意会一下,ans+中转站的价格,然后sum再减去,都减去成本,当然建啊)
然后可能有疑问了:会不会我切了红边(不要这个人的收益了),又把属于他的练歌蓝边切了。
当然不可能,绿边可不是凑了闹的,比如对于点a1,他有两条边s-a1-b1-t,s-a1-b2-t,如果切了s-a1这两条边已经断开了,再切b1-t,b2-t没什么用。
好了,到这了,突然发现打了这么多字,可能表达不清楚,qwq
code
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<queue> 4 #include<cstring> 5 6 using namespace std; 7 8 const int MAXN = 100100; 9 const int INF = 0x7fffffff; 10 struct Edge{ 11 int to,nxt,c; 12 }e[500100]; 13 int sum,tot = 1,n,m,s,t,ans; 14 int head[MAXN], val[MAXN],dis[MAXN]; 15 queue<int>q; 16 17 18 int read() 19 { 20 int x = 0,f = 1;char ch = getchar(); 21 for (; ch<'0'||ch>'9'; ch = getchar()) 22 if (ch=='-') f = -1; 23 for (; ch>='0'&&ch<='9'; ch = getchar()) 24 x = x*10+ch-'0'; 25 return x*f; 26 } 27 void add_edge(int u,int v,int w) 28 { 29 ++tot; 30 e[tot].c = w,e[tot].to = v,e[tot].nxt = head[u]; 31 head[u] = tot; 32 ++tot; 33 e[tot].c = 0,e[tot].to = u,e[tot].nxt = head[v]; 34 head[v] = tot; 35 } 36 bool bfs() 37 { 38 memset(dis,-1,sizeof(dis)); 39 q.push(s); 40 dis[s] = 0; 41 while (!q.empty()) 42 { 43 int u = q.front(); 44 q.pop(); 45 for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) 46 { 47 int v = e[i].to; 48 if (dis[v]==-1 && e[i].c>0) 49 { 50 dis[v] = dis[u]+1; 51 q.push(v); 52 } 53 } 54 } 55 if (dis[t]!=-1) return true; 56 return false; 57 } 58 int dfs(int u,int low) 59 { 60 if (u==t) return low; 61 int w ,tmp = low; 62 for (int i=head[u]; i; i=e[i].nxt) 63 { 64 int v = e[i].to; 65 if (dis[v]==dis[u]+1 && e[i].c> 0) 66 { 67 w = dfs(v,min(low,e[i].c)); 68 e[i].c -= w; 69 e[i^1].c += w; 70 low -= w; 71 } 72 } 73 return tmp - low; 74 } 75 int main() 76 { 77 n = read();m = read(); 78 s = 0,t = n+m+1; 79 for (int x,i=1; i<=n; ++i) 80 { 81 x = read(); 82 add_edge(i+m,t,x);//建立从中转站到T的边,中转站的花费 83 } 84 for (int x,y,z,i=1; i<=m; ++i) 85 { 86 x = read(),y = read(),z = read(); 87 sum += z; 88 add_edge(i,m+x,INF);//建立第i个人到中转站的边INF 89 add_edge(i,m+y,INF); 90 add_edge(s,i,z);//建立从S到第i个人的边,第i个人的获益 91 } 92 while (bfs()) 93 ans += dfs(s,INF); 94 printf("%d",sum-ans); 95 return 0; 96 }