数论--欧拉函数

欧拉函数概念及代码实现

概念梳理：

     欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。 

     欧拉函数的性质：它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后，所有的素数幂上的欧拉函数之积。

     欧拉函数的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

　　例如：φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。（即p不能重复）比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)）=4

    推论：当n为奇数时，有φ(2n)=φ(n)。

    若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

    设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

    欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

    特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

代码实现：

　　由于任何一个合数都至少有一个不大于根号n的素因子，所以只需遍历到根号n即可

#include<iostream>
using namespace std; 
int oula(int n)
{
    int rea=n;
    for(int i=2; i*i<=n; i++)
        if(n%i==0)//第一次找到的必为素因子
        {
            rea=rea-rea/i;
            do
                n/=i;//把该素因子全部约掉
            while(n%i==0);
        }
    if(n>1)
        rea=rea-rea/n;
    return rea;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    cout<<oula(n); 
    return 0;
}