多边形重心+凸包

题意：

      求按顺序输入的一些点所围成的多边形有多少种方式可以“站”起来。

思路：

      首先题上说了如果重心在支撑线段的某个端点上（临界情况）是站不起来的，那么考虑到这个情况之后，我们首先求出这些点的重心（数据按顺序输入的，可直接求出），然后求一个凸包来确定支撑的线段，接下来判断支撑的线段和重心的位置关系是否满足情况。如果重心到线段所做的垂线不与线段相交的话，那么会倒，所以只需判断重心到线段和直线的距离就行了，在误差范围内相等就是一个解。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const double eps=1e-10;
const int maxn=5e4+50;
struct Point
{
double x,y;
Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y) {}
};
Point operator - (const Point &A,const Point &B)
{
return Point(A.x-B.x,A.y-B.y);
}
bool operator < (const Point &a,const Point &b)
{
return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y);
}
int dcmp(double x)///带精度的比较
{
if(fabs(x)<eps) return 0;
return (x<0?-1:1);
}
bool operator == (const Point &a,const Point &b)
{
return dcmp(a.x-b.x)==0&&dcmp(a.y-b.y)==0;
}
double Dot(const Point &A,const Point &B)///点积
{
return A.x*B.x+A.y*B.y;
}
double Cross(Point A, Point B)///叉积
{
return A.x*B.y-A.y*B.x;
}
double Length(const Point &A)
{
return sqrt(Dot(A,A));
}
double Area(Point A,Point B,Point C)///三点面积
{
return Cross(B-A, C-A)/2.0;
}
Point centre_of_gravity(Point *p, int n)
{
Point G;
double s,sumS=0;
G.x=0,G.y=0;
for(int i=1; i<n-1; i++)
{
s=Area(p[0], p[i], p[i+1]);
sumS+=s;
G.x+=(p[0].x+p[i].x+p[i+1].x)*s;
G.y+=(p[0].y+p[i].y+p[i+1].y)*s;
}
G.x=G.x/sumS/3.0;
G.y=G.y/sumS/3.0;
return G;
}
int convex_hull(Point *p,Point *ch,int n)///原始数组，凸包数组，原始数量
{
sort(p,p+n);
int m=0;
for(int i=0; i<n; i++)
{
while(m>1&&Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-1])<=0)
m--;
ch[m++]=p[i];
}
int k=m;
for(int i=n-2; i>=0; i--)
{
while(m>k&&Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-1])<=0)
m--;
ch[m++]=p[i];
}
if(n>1) m--;
return m;
}
double DistanceToLine(const Point &P,const Point &A,const Point &B)///p是目标点，AB是直线
{
Point v1=B-A,v2=P-A;
return fabs(Cross(v1,v2))/Length(v1);
}
double DistanceToSegment(const Point &P,const Point &A,const Point &B)///p是目标点，AB是线段
{
if(A==B) return Length(P-A);
Point v1=B-A,v2=P-A,v3=P-B;
if(dcmp(Dot(v1,v2)<0)) return Length(v2);
else if(dcmp(Dot(v1,v3))>0) return Length(v3);
else return fabs(Cross(v1,v2))/Length(v1);
}
int n;
Point P[maxn],hull[maxn];
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y);
}
Point g=centre_of_gravity(P,n);
int sum=convex_hull(P,hull,n);
int ans=0;
for(int i=0;i<sum;i++)
{
int j=(i+1)%sum;
if(dcmp(Dot(g-hull[i],hull[i]-hull[j]))==0||dcmp(Dot(g-hull[j],hull[i]-hull[j]))==0)continue;///重心恰好在端点的垂线上
double dis1=DistanceToLine(g,hull[i],hull[j]);
double dis2=DistanceToSegment(g,hull[i],hull[j]);
if(dcmp(dis1-dis2)==0)ans++;
}
printf("%d ",ans);
}
return 0;
}