判断素数：对于n，分别枚举1-sqrt（n）。
最朴素的素数筛——埃拉托斯特尼筛法(Sieve of Eratosthenes)
1 int primes[MAXN],ent=0; 2 bool isPrime[MAXN]; 3 void getPrime() 4 { 5 memset(isPrime,true,sizeof(isPrime)); 6 for(int i=2;i<MAXN;i++) 7 { 8 if(isPrime[i]) 9 { 10 primes[++ent]=i; 11 for(int j=i+i;j<MAXN;j+=i) 12 isPrime[j]=false; 13 } 14 } 15 }
复杂度：nlglgn
欧拉筛：每个合数只会被一个素数筛去，所以复杂度线性。
原理：每个比 i 大的合数，必可以拆分为一个比 i 小的质数和另一个合数之积
1 int primes[MAXN],tot=0; 2 bool isPrime[MAXN]; 3 4 void getPrime() 5 { 6 memset(isPrime,true,sizeof(isPrime)); 7 for(int i=2;i<MAXN;i++) 8 { 9 if(isPrime[i]) 10 primes[++tot]=i; 11 for(int j=1;j<=tot;j++) 12 { 13 if(i*primes[j]>=MAXN) break; 14 isPrime[i*primes[j]]=false; 15 if(i%primes[j]==0) break;//就这 16 } 17 } 18 ————————————————
积性函数：f(ab)=f(a)f(b).ab不要求互素为完全积性函数。
·欧拉函数
·莫比乌斯函数
欧拉函数(积性函数)
欧拉函数 ϕ(n) 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。
定义式：ϕ(n)=n(1−1/p1)(1−1/p2)…(1−1/pk),p1…pk是n的k个不同的质因数。
一些性质：
ϕ(n*p)=ϕ(n)*p. p为素数 （照定义式一写可证）
ϕ(p)=p-1.
可得代码
1 int tot=0; 2 int phi[maxn],prime[maxn]; 3 bool isPrime[maxn]; 4 void getphi(){ 5 memset(isPrime,true,sizeof(IsPrime)); 6 phi[1]=1; 7 for(int i=2;i<=maxn;i++){ 8 if(isPrime[i]) prime[++tot]=i,phi[i]=i-1;//* 9 for(int j=1;j<=tot;j++){ 10 if(i*prime[j]>maxn) break; 11 isPrime[i*prime[j]]=false; 12 if(i%prime[j]==0){ 13 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//* 14 break; 15 }else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);//* 16 } 17 } 18 }
莫比乌斯函数
莫比乌斯函数μ(d)的定义如下
(1)若d=1，那么μ(d)=1
(2)若d=p1p2…pk(p1…pk均为互异质数)，那么μ(d)=(−1)^k
(3)其他情况下，μ(d)=0
假设当前从μ(i),μ(p)转移到μ(i·p)，
1、如果p是在ip中第一次出现的话(也就是p不整除i)，则μ(i·p)=−μ(i)
2、如果p不是在ip中第一次出现的话(也就是p整除i)，则μ(i·p)=0
1 int tot=0; 2 int mu[maxn],prime[maxn]; 3 bool isPrime[maxn]; 4 void getmiu(){ 5 memset(isPrime,true,sizeof(isPrime)); 6 mu[1]=1; 7 for(int i=2;i<=maxn;i++){ 8 if(isPrime[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1; 9 for(int j=1;j<=tot;j++){ 10 if(i*prime[j]>maxn) break; 11 isPrime[i*prime[j]]=false; 12 if(i%prime[j]==0){ 13 mu[i*prime[j]]=0; 14 break; 15 }else miu[i*prime[j]]=-1*mu[i]; 16 } 17 } 18 }
莫比乌斯反演
F(n),f(n) 是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件 
则
似乎有一个绝妙的性质：
example：
1.求(i,j)=x的个数
还没写完，回头再补。挂个参考链接，如有侵权立删。
https://blog.csdn.net/qq_30115697/article/details/89219146