小球与盒子
在离散数学里面,组合数是一个重点。下面就对常见的几个小球盒子模型进行总结
参考了chengni的这篇文章,在此表示感谢。
注意:
- 以下未说明,均默认球数为n,盒子数为m。
- (C_{n}^{m}=inom{n}{m}) ,两者是等价的。
- 从不同变为相同需要乘以阶乘而不是除
一、球相同,盒子不同,不可以有空盒
很经典的隔板法模型,相同的物品划分为几个不同的集合。设球为n,盒子为m,方案数为
二、球相同,盒子不同,允许空盒
这和上面唯一的区别就是允许空盒。不妨假设每个空盒已经被我们放了一个球,那么问题就变成了上面的情况,。所以我们可以看做自己有 n+m 个小球,然后我们在排列完之后在每一组都删去一个小球,这样就能枚举出有空盒的情况了。n个球分成m个集合等价于n+m个球分成m个非空集合。
于是答案为
(在这里把盒子想成集合会好想一些)
三、球不同,盒子不同,允许空盒
对于每一个球,你都可以放到1~m的任意位置,所以方案数为
四、球不同,盒子相同,不可以有空盒
对于这个问题有个东西叫做第二类斯特林数。
在数学上,斯特林数有两类,本文只介绍第二类。
第二类斯特林数((S2[n][m]))的含义:n 个不同的小球放入m个相同的盒子中(且盒子不能为空)的方案数 。它有个递推公式(S2[i][j]=S2[i-1][j] imes j+S2[i-1][j-1])
我们可以这样理解:
- 如果(i-1)个元素已经构成了(j-1)个集合,那么第(i)个元素单独构成一个集合的方案数为(S2[i-1][j-1] imes 1)(空的集合都是无序相同的,任选一个即可);
- 如果(i-1)个元素已经构成了(j)个集合,将第(i)个元素插入到任一个集合中的方案数为(S2[i-1][j] imes j)(选择(j)个集合中的一个有(j)种选法)。
(在这里把盒子想成集合会好想一些)
当然,第二类斯特林数还有另一个公式,需要用到容斥。
证明:
为了方便,不妨假设(A_i)表示第(i)个盒子为空的情况。总方案数为(S),则有
(A_i):对于每个球,都只有(m-1)种选择。所以是((m-1)^n)。
这一个盒子为空的情况,但同时也包含了两个盒子为空的。两个盒子为空的方案数如下
如此推导下去,就可以得出所求第二类斯特林数:
最后除一个 (m!) 消掉有序性,如果不除就是有序的
五、球不同,盒子不同,不可以有空盒
其实就是上一个问题的最后一句话,“如果不除就是有序的。”
六、球不同,盒子不同,允许空盒
我们可以枚举每次有几个盒子非空,最后加起来就好了
七、球相同,盒子也相同,允许空盒
设(f[i][j])表示将(i)个球放到(j)个盒子的方案数
-
当i < j 时,剩下的j-i个盒子没什么用,所以方案数为(f[i][i])
-
当i >= j 时
- 如果将盒子放满,方案数为(f[i-j][j])
- 如果不把盒子放满,方案数为(f[i][j-1])
然后就可以(n^2)递推了。
八、球相同,盒子也相同,无空盒
先假设每个盒子里都有一个球,所求即(ans=f[n-m][m])